Описать энергетическое пространство оператора

[Juicer]

Дано ОДУ:

$$Au \equiv -u'' + u = 4x, u(0) = u(1) = 8.$$

Как описать энергетическое пространство оператора $Au$?
Область определения оператора $A -$ функции $u \in C^2$, также удовлетворяющие граничным условиям. Энергетическое пространство получается пополнением области определения оператора A и энергетической нормы, на нём определённой. Значит ли это то, что энергетическое пространство состоит из функций $u \in C^2$, также удовлетворяющие граничным условиям? И как его тогда найти?

[Dan B-Yallay]

Вы уверены, что оператор действует на пространстве $C^2, $ а не каком-то другом?
Насколько помню, энергетическую норму вводят на подпространствах гильбертовых пр-в. Но $C^2$ гильбертовым не является (скалярное умножение не определено).
Надо бы разобраться с этим сначала.

[Juicer]

Dan B-Yallay в сообщении #1497413 писал(а):

Вы уверены

Осознал ошибку: $A: U \to F, U = F = L_2[0, 1]$

[Dan B-Yallay]

Juicer в сообщении #1497414 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1497413 писал(а):

Вы уверены

Осознал ошибку: $A: U \to F, U = F = L_2[0, 1]$

Не может $ U = L_2 [0,1]$, так как функции в $L_2$ иметь производныx не обязаны.
Даже первой, не говоря уже о второй.

[Juicer]

Dan B-Yallay в сообщении #1497415 писал(а):

Даже первой, не говоря уже о второй.

Тогда почему нельзя взять $C^2$?

[Dan B-Yallay]

Juicer в сообщении #1497417 писал(а):

Тогда почему нельзя взять $C^2$?

Как определено скалярное умножение в $C^2$?

[Juicer]

Dan B-Yallay в сообщении #1497418 писал(а):

Как определено скалярное умножение

Так мы же сами вводим скалярное произведение как $[u_1, u_2] = (Au_1, u_2)$

UPD: Называемое "энергетическим" скалярным произведением

[Otta]

Juicer
Ну проверьте, что оно скалярное произведение, что ли. Хотя бы, что $[u,u]\ge 0$.

[Dan B-Yallay]

Juicer в сообщении #1497420 писал(а):

Так мы же сами вводим скалярное произведение как $[u_1, u_2] = (Au_1, u_2)$

Вы вводите скалярное "энергетическое" произведение $[u_1, u_2]$ посредством использования какой-то операции $(Au_1, u_2)$,

Вот эти скобки $(\cdot\ ,\ \cdot)$-- что конкретно они обозначают? они как-то определены в $C^2$ ?

[Juicer]

Dan B-Yallay в сообщении #1497422 писал(а):

Вот эти скобки

да, понял: в $C^2$ нет скалярного, а эти скобки и есть скалярное произведение.

Тогда нам нужно взять функции из $L_2[0, 1]$ с существующими производными первого и второго порядков?

[Dan B-Yallay]

Juicer в сообщении #1497423 писал(а):

Тогда нам нужно взять функции из $L_2[0, 1]$ с существующими производными первого и второго порядков?

Да, именно. У этих пространств уже есть названия и наверняка Вам их уже озвучивал лектор.

[Juicer]

Dan B-Yallay в сообщении #1497424 писал(а):

лектор

нет, лекций нет из-за коронавируса, поэтому и разбираюсь сам

[Dan B-Yallay]

Juicer в сообщении #1497425 писал(а):

нет, лекций нет из-за коронавируса, поэтому и разбираюсь сам

Литературу Вам тоже никакую не посоветовали?
Не должны студенты самостоятельно заново переоткрывать Соболевские пространства...

-- Пн дек 21, 2020 13:12:35 --

Если у Вас с английским нормально, гляньте статью в Вики:

https://en.wikipedia.org/wiki/Energetic_space

Но лучше всего, конечно нормальный учебник. Думаю кто-нибудь из коллег ЗУ может подсказать хорошую литературу на русском языке.

-- Пн дек 21, 2020 13:56:21 --

Otta в сообщении #1497421 писал(а):

Juicer
Ну проверьте, что оно скалярное произведение, что ли. Хотя бы, что $[u,u]\ge 0$.

Кстати да, присоединяюсь.
Проверьте, действительно ли вводимая Вами операция имеет свойство: $[u,u] = (Au, u) \geqslant 0$

[Juicer]

Dan B-Yallay в сообщении #1497426 писал(а):

действительно ли вводимая Вами

я уже осознал, что при любой функции $u$ (а другого я не оговаривал) даже при положительно определенном симметричном операторе $A$ там не всегда будет положительность.

-- 22.12.2020, 02:25 --

Dan B-Yallay в сообщении #1497426 писал(а):

Если у Вас с английским нормально, гляньте статью в Вики:

спасибо, сейчас почитаю

[Dan B-Yallay]

Juicer в сообщении #1497443 писал(а):

а другого я не оговаривал

Можно оговорить дополнительные требования к функциям, это не запрещено.