Помогите разобраться : МВМ

[pc20b]

Дайте, пожалуйста, определение множества всех множеств (МВМ).

[Xaositect]

Множество всех множеств - это множество, которое содержит в качестве элемента любое множество, т.е. \forall x(x\in U).
Можно доказать, что множества всех множеств не существует.

[pc20b]

Xaositect в сообщении #149676 писал(а):

Можно доказать, что множества всех множеств не существует.

Пожалуйста, если нетрудно.

[Xaositect]

Допустим, множество всех множеств U существует.
Рассмотрим произвольное множество A, элементами которого являются множества. Любой элемент множества A является также элементом U, значит, $A\subseteq U$ и, следовательно, мощность множества A не больше мощности множества U.
Рассмотрим теперь 2^U - множество всех подмножеств множества U. По теореме Кантора его мощность строго больше мощности U, чего быть не может, как мы показали в прошлом абзаце.
Получили противоречие. Значит, множества U не существует.

Для понимания доказательства нужно знать основные факты, связанные со сравнением мощностей множеств, в частности, теорему Кантора-Шредера-Бернштейна и теорему Кантора о множестве всех подмножеств.

[pc20b]

Xaositect в сообщении #149680 писал(а):

Рассмотрим теперь 2^U - множество всех подмножеств множества U. По теореме Кантора его мощность строго больше мощности U

Пусть множество $U$ произвольно, его мощность (кардинал) $|U|$. Если можно сказать, что мощность множества всех подмножеств множества $U$ можно выразить как

$$2^{|U|}$$

, то соотношение

$$2^{|U|}>|U|$$

справедливо для любых кардиналов?

[ewert]

Xaositect писал(а):

Для понимания доказательства нужно знать основные факты, связанные со сравнением мощностей множеств, в частности, теорему Кантора-Шредера-Бернштейна и теорему Кантора о множестве всех подмножеств.

Не надо.

Насколько помню, классическое доказательство выглядит примерно так. Пусть $X$ -- множество всех множеств. Представим его в виде дизъюнктного объединения $X=A\cup B$, где $A$ состоит из всех множеств, которые содержат себя как собственный элемент, $B$ -- из тех, которые, наоборот, не содержат. Эти множества не пусты: как минимум, $X\in A$ и $\varnothing\in B$.
К какому классу принадлежит $B$? Оно не может содержать себя как свой элемент, т.к. тогда входило бы в $A$. Но в таком случае оно содержится в $B$, т.е. включает себя как элемент. Вот и противоречие.

[Xaositect]

pc20b писал(а):

Xaositect в сообщении #149680 писал(а):

Рассмотрим теперь 2^U - множество всех подмножеств множества U. По теореме Кантора его мощность строго больше мощности U

Пусть множество $U$ произвольно, его мощность (кардинал) $|U|$. Если можно сказать, что мощность множества всех подмножеств множества $U$ можно выразить как

$$2^{|U|}$$

, то соотношение

$$2^{|U|}>|U|$$

справедливо для любых кардиналов?

Да

[pc20b]

ewert в сообщении #149687 писал(а):

К какому классу принадлежит $B$? Оно не может содержать себя как свой элемент, т.к. тогда входило бы в $A$. Но в таком случае оно содержится в $B$.

Извините, но мне кажется, здесь неточно : логический функтор "но в таком случае ..." может иметь и другие исходы. В данном рассуждении множество $B$, "не содержащееся в себе самом" по условию, содержится в $X$, и этого достаточно. Поэтому, очевидно, вывод "оно содержится в $B$" из данного рассуждения не следует.

Скорее всего, это, наверно, ошибка.

Добавлено спустя 14 минут 44 секунды:

Xaositect в сообщении #149712 писал(а):

Да

Может быть, Вы не поняли : само по себе соотношение

$$2^{|U|}>|U|$$

справедливо, конечно, для любого $|U|$ как числа. Но мощность множества - не обязательно (вычислимое) число. Интерес в вопросе о существовании МВМ представляет как раз случай, когда эти мощности - кардинальные "числа". Поэтому вопрос, если его уточнить, такой : применимо ли это неравенство к сравнению мощностей МВМ и множества всех его подмножеств?

[Brukvalub]

pc20b в сообщении #149717 писал(а):

применимо ли это неравенство к сравнению мощностей МВМ и множества всех его подмножеств?

МВМ - не множество!

[PAV]

Тема перемещается из "Помогите решить" в дискуссионный раздел

[pc20b]

Brukvalub в сообщении #149718 писал(а):

МВМ - не множество!

Извините ради бога, но нельзя ли пояснить это восклицание. Ведь мы в разделе "Помогите разобраться".

[Brukvalub]

pc20b в сообщении #149720 писал(а):

Ведь мы в разделе "Помогите разобраться".

Это высказывание - ложно.

Добавлено спустя 9 минут 23 секунды:

Если признать МВМ множеством, то, как Вам уже указали выше, наивная ( Канторова) теория множеств неизбежно становится противоречивой.
Чтобы этого избежать, созданы аксиоматические теории множеств (например, Цермело - Френкеля), в которых прямо описывается, что есть множества. В рамках этих теорий слишком большие множества строить запрещено (то есть невозможно получить объектом таких теорий МВМ).

[pc20b]

Brukvalub в сообщении #149721 писал(а):

Если признать МВМ множеством, то, как Вам уже указали выше, наивная ( Канторова) теория множеств неизбежно становится противоречивой.

Да вот как раз в этом-то и нет уверенности : тут дело может быть не в противоречивости канторовой (наивной) теории множеств (К(Н)ТМ), а в логических ошибках, приведших, в данном случае, к антиномии "МВМ". Чтобы ещё раз разобрать такую возможность, я и попросил профессионалов "снизойти" до этих элементарных основ.

То, что в сообщении ewert'а возможна неточность, это очевидно. Поэтому я бы очень попросил прокомментировать возможность применения тривиального результата комбинаторики :

$$2^N>N$$

к сравнению двух кардиналов : мощности МВМ и мощности МВП.

Добавлено спустя 10 минут 42 секунды:

Brukvalub в сообщении #149721 писал(а):

созданы аксиоматические теории множеств (например, Цермело - Френкеля), в которых прямо описывается, что есть множества.

В К(Н)ТМ множество - неопределяемый изначальный объект. Не поддается описанию. С бытовой точки зрения это честно. Задается перечислением своих элементов. Всё остальное : классы и т.д., - это выше.

Конечно, если К(Н)ТМ - принципиально противоречива, тогда да, надо её уточнять. Но если ошибки в логике, приведшие к такому выводу?

[Brukvalub]

pc20b в сообщении #149724 писал(а):

Но если ошибки в логике, приведшие к такому выводу?

На самом деле, я изложил существующую к настоящему моменту в теории множеств ситуацию весьма "вульгарно". Если Вы хотите разобраться в этом по-настоящему, то начните с вот этих ссылок и списков литературы, в них приведенных:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2
http://www.052.help-rus-student.ru/text/052.htm

[pc20b]

Brukvalub в сообщении #149728 писал(а):

На самом деле, я изложил существующую к настоящему моменту в теории множеств ситуацию весьма "вульгарно".

Спасибо за ссылки. Но всё же, нельзя ли ответить на конкретный вопрос Вам, профессионалам? Может, там собака зарыта?** А мы лезем в бутылку?***
** арабская идиома.
*** тоже арабская идиома.