2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Помогите разобраться : МВМ
Сообщение10.10.2008, 00:11 
Заблокирован


26/03/07

2412
Дайте, пожалуйста, определение множества всех множеств (МВМ).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Множество всех множеств - это множество, которое содержит в качестве элемента любое множество, т.е. \forall x(x\in U).
Можно доказать, что множества всех множеств не существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 00:38 
Заблокирован


26/03/07

2412
Xaositect в сообщении #149676 писал(а):
Можно доказать, что множества всех множеств не существует.

Пожалуйста, если нетрудно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Допустим, множество всех множеств U существует.
Рассмотрим произвольное множество A, элементами которого являются множества. Любой элемент множества A является также элементом U, значит, $A\subseteq U$ и, следовательно, мощность множества A не больше мощности множества U.
Рассмотрим теперь 2^U - множество всех подмножеств множества U. По теореме Кантора его мощность строго больше мощности U, чего быть не может, как мы показали в прошлом абзаце.
Получили противоречие. Значит, множества U не существует.

Для понимания доказательства нужно знать основные факты, связанные со сравнением мощностей множеств, в частности, теорему Кантора-Шредера-Бернштейна и теорему Кантора о множестве всех подмножеств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 01:24 
Заблокирован


26/03/07

2412
Xaositect в сообщении #149680 писал(а):
Рассмотрим теперь 2^U - множество всех подмножеств множества U. По теореме Кантора его мощность строго больше мощности U

Пусть множество $U$ произвольно, его мощность (кардинал) $|U|$. Если можно сказать, что мощность множества всех подмножеств множества $U$ можно выразить как $$2^{|U|}$$, то соотношение

$$2^{|U|}>|U|$$

справедливо для любых кардиналов?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 03:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Xaositect писал(а):
Для понимания доказательства нужно знать основные факты, связанные со сравнением мощностей множеств, в частности, теорему Кантора-Шредера-Бернштейна и теорему Кантора о множестве всех подмножеств.

Не надо.

Насколько помню, классическое доказательство выглядит примерно так. Пусть $X$ -- множество всех множеств. Представим его в виде дизъюнктного объединения $X=A\cup B$, где $A$ состоит из всех множеств, которые содержат себя как собственный элемент, $B$ -- из тех, которые, наоборот, не содержат. Эти множества не пусты: как минимум, $X\in A$ и $\varnothing\in B$.
К какому классу принадлежит $B$? Оно не может содержать себя как свой элемент, т.к. тогда входило бы в $A$. Но в таком случае оно содержится в $B$, т.е. включает себя как элемент. Вот и противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
pc20b писал(а):
Xaositect в сообщении #149680 писал(а):
Рассмотрим теперь 2^U - множество всех подмножеств множества U. По теореме Кантора его мощность строго больше мощности U

Пусть множество $U$ произвольно, его мощность (кардинал) $|U|$. Если можно сказать, что мощность множества всех подмножеств множества $U$ можно выразить как $$2^{|U|}$$, то соотношение

$$2^{|U|}>|U|$$

справедливо для любых кардиналов?

Да

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 08:59 
Заблокирован


26/03/07

2412
ewert в сообщении #149687 писал(а):
К какому классу принадлежит $B$? Оно не может содержать себя как свой элемент, т.к. тогда входило бы в $A$. Но в таком случае оно содержится в $B$.

Извините, но мне кажется, здесь неточно : логический функтор "но в таком случае ..." может иметь и другие исходы. В данном рассуждении множество $B$, "не содержащееся в себе самом" по условию, содержится в $X$, и этого достаточно. Поэтому, очевидно, вывод "оно содержится в $B$" из данного рассуждения не следует.

Скорее всего, это, наверно, ошибка.

Добавлено спустя 14 минут 44 секунды:

Xaositect в сообщении #149712 писал(а):
Да

Может быть, Вы не поняли : само по себе соотношение

$$2^{|U|}>|U|$$

справедливо, конечно, для любого $|U|$ как числа. Но мощность множества - не обязательно (вычислимое) число. Интерес в вопросе о существовании МВМ представляет как раз случай, когда эти мощности - кардинальные "числа". Поэтому вопрос, если его уточнить, такой : применимо ли это неравенство к сравнению мощностей МВМ и множества всех его подмножеств?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
pc20b в сообщении #149717 писал(а):
применимо ли это неравенство к сравнению мощностей МВМ и множества всех его подмножеств?
МВМ - не множество!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Тема перемещается из "Помогите решить" в дискуссионный раздел

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:14 
Заблокирован


26/03/07

2412
Brukvalub в сообщении #149718 писал(а):
МВМ - не множество!

Извините ради бога, но нельзя ли пояснить это восклицание. Ведь мы в разделе "Помогите разобраться".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
pc20b в сообщении #149720 писал(а):
Ведь мы в разделе "Помогите разобраться".
Это высказывание - ложно.

Добавлено спустя 9 минут 23 секунды:

Если признать МВМ множеством, то, как Вам уже указали выше, наивная ( Канторова) теория множеств неизбежно становится противоречивой.
Чтобы этого избежать, созданы аксиоматические теории множеств (например, Цермело - Френкеля), в которых прямо описывается, что есть множества. В рамках этих теорий слишком большие множества строить запрещено (то есть невозможно получить объектом таких теорий МВМ).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:49 
Заблокирован


26/03/07

2412
Brukvalub в сообщении #149721 писал(а):
Если признать МВМ множеством, то, как Вам уже указали выше, наивная ( Канторова) теория множеств неизбежно становится противоречивой.

Да вот как раз в этом-то и нет уверенности : тут дело может быть не в противоречивости канторовой (наивной) теории множеств (К(Н)ТМ), а в логических ошибках, приведших, в данном случае, к антиномии "МВМ". Чтобы ещё раз разобрать такую возможность, я и попросил профессионалов "снизойти" до этих элементарных основ.

То, что в сообщении ewert'а возможна неточность, это очевидно. Поэтому я бы очень попросил прокомментировать возможность применения тривиального результата комбинаторики :

$$2^N>N$$

к сравнению двух кардиналов : мощности МВМ и мощности МВП.

Добавлено спустя 10 минут 42 секунды:

Brukvalub в сообщении #149721 писал(а):
созданы аксиоматические теории множеств (например, Цермело - Френкеля), в которых прямо описывается, что есть множества.

В К(Н)ТМ множество - неопределяемый изначальный объект. Не поддается описанию. С бытовой точки зрения это честно. Задается перечислением своих элементов. Всё остальное : классы и т.д., - это выше.

Конечно, если К(Н)ТМ - принципиально противоречива, тогда да, надо её уточнять. Но если ошибки в логике, приведшие к такому выводу?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
pc20b в сообщении #149724 писал(а):
Но если ошибки в логике, приведшие к такому выводу?
На самом деле, я изложил существующую к настоящему моменту в теории множеств ситуацию весьма "вульгарно". Если Вы хотите разобраться в этом по-настоящему, то начните с вот этих ссылок и списков литературы, в них приведенных:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2
http://www.052.help-rus-student.ru/text/052.htm

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2008, 10:02 
Заблокирован


26/03/07

2412
Brukvalub в сообщении #149728 писал(а):
На самом деле, я изложил существующую к настоящему моменту в теории множеств ситуацию весьма "вульгарно".

Спасибо за ссылки. Но всё же, нельзя ли ответить на конкретный вопрос Вам, профессионалам? Может, там собака зарыта?** А мы лезем в бутылку?***
** арабская идиома.
*** тоже арабская идиома.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 106 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group