Среднее арифметическое и среднее геометрическое

[ozes]

Sasha2 в сообщении #337137 писал(а):

Интересно, а почему физики и инженеры используют для среднего значения величины среднее арифметическое, а не срднее геометрическое:

1) Это в силу сложившейся традиции.
2) Складывать легче, чем умножать и извлекать корни
3) Есть математическое подтверждение, что истинное значение измеряемой величины ближе к среднему арифметическому, чем к среднему геометрическому (или вообще к какому-либюо другому среднему степенному)

Ваше сообщение надо поместить в раздел "математический юмор ".

Это математики используют среднее арифметическое, не понимая его смысла.
А физики используют среднее арифметическое потому что так определяется "центр тела" - центр инерции, центр масс и т.д.
А любое свободное движение тела определяется через движение его центра (или центров, если сложная конструкция).

[Toucan]

ozes в сообщении #619040 писал(а):

Это математики используют среднее арифметическое, не понимая его смысла.

ozes, строгое предупреждение за бездоказательные обвинения в адрес научного сообщества (см. Правила форума п. I.1.д).

[ozes]

Toucan в сообщении #619045 писал(а):

ozes в сообщении #619040 писал(а):

Это математики используют среднее арифметическое, не понимая его смысла.

ozes, строгое предупреждение за бездоказательные обвинения в адрес научного сообщества (см. Правила форума п. I.1.д).

За что предупреждение?

Почему бездоказательные обвинения?

Например, разве может выступать число в качестве оценки погрешности аппроксимирующей функции ???

Как может быть "метр" ошибкой "килограмма"?

А в математике принято считать, что такое может быть.

И причем здесь я ?

[AKM]

ozes,

недельный бан за очередное нарушение Правил форума (обсуждение действий модератора в тематическом разделе, п. I.1.и).

[geomath]

Нарисуем окружность и ее диаметр. Очевидно, ее длина больше двух диаметров. С другой стороны, опишем около окружности квадрат. Очевидно, ее длина меньше четырех диаметров. Среднее арифметическое равно трем диаметрам, а среднее геометрическое - еще меньше. Спрашивается, какое среднее из хоть как-то известных (коль скоро, как пишут, их много) следует взять, чтобы получить число пи несколько или даже возможно точнее?

[alisa-lebovski]

Конечно, можно подогнать среднее под ответ, а смысл?

[geomath]

alisa-lebovski в сообщении #1497168 писал(а):

Конечно, можно подогнать среднее под ответ, а смысл?

Нет, я специально написал, что не подогнать, а выбрать (из множества средних хоть как-то общепринятых) подходящее среднее, коль скоро их много. Тут вот выше упоминалась целая книга (!) про средние. Например, среднее геометрическое здесь хуже арифметического. А лучше есть?

[alisa-lebovski]

В общем среднее (двух величин, для простоты) имеет вид $f^{-1}((f(x_1)+f(x_2))/2)$, где $f$ - непрерывная монотонная функция, $f^{-1}$ - обратная. При $f(x)=x$ - среднее арифметическое, $f(x)=\ln x$ - среднее геометрическое. Конечно, можно подобрать функцию, такую что $f(2)+f(4)=2f(\pi)$.

[geomath]

Ну вот вы опять предлагаете "среднее" ad hoc. Я же не о нем. Какие еще есть мало-мальски общепринятые средние? Ну, среднее гармоническое есть, оно здесь тоже хуже. Есть еще очень интересное арифметико-геометрическое среднее, связанное с эллиптическими интегралами, его еще Гаусс изучал, оно здесь тоже хуже, хотя в принципе с его помощью вычислять пи можно. Что еще можете вспомнить?

[Aritaborian]

geomath в сообщении #1497174 писал(а):

хотя в принципе с его помощью вычислять пи можно

А как именно?

[geomath]

Aritaborian в сообщении #1497176 писал(а):

А как именно?

см. "Среднее арифметико-геометрическое" в Википедии

[Aritaborian]

Спасибо, понял.

[alisa-lebovski]

geomath, можете посмотреть "среднее степенное" в Википедии, и решить задачу, при какой степени получается $\pi$.

Из целых степеней лучше всего среднее квадратическое, оно дает $\sqrt{10}\approx 3.16$

[geomath]

Ааа, ну вот, понятно. Значит, среднее квадратическое, т.е. среднее степенное со степенью 2. Правда, тогда непонятно, хоть это вроде и не очень важно, какой смысл имеет точное значение степени, равное 1.86562..., и где оно встречается еще?

[alisa-lebovski]

geomath в сообщении #1497207 писал(а):

Правда, тогда непонятно, хоть это вроде и не очень важно, какой смысл имеет точное значение степени, равное 1.86562..., и где оно встречается еще?

Конкретно это значение вряд ли встречается, а вообще в статистике бывает так, что реальные данные явно не нормальны, и тогда ищут преобразование, которое бы их делало похожими на нормальные, в том числе это может оказаться и степенное преобразование.