Вещественные числа в определении метрического пространства

[arseniiv]

Мне напомнили часа два назад одну вещь, о которой я как-то сам задумывался, но глубоко не копал, а именно почему область значений метрики — $\mathbb R$. Кроме очевидных историко-дидактических причин приходит на ум следующее:

Подойдёт скорее всего любое упорядоченное поле, начиная с нашего наименьшего $\mathbb Q$. Оно могло бы в принципе быть в ходу, но пополняя его само как $\mathbb Q$-метрическое пространство, мы получим $\mathbb R$ и на нём зафиксируемся. Польза может быть от поля алгебраических чисел, например в точных вычислениях на компьютере чего-то, для чего рациональных расстояний недостаточно. Скорее всего мало пользы от промежуточных полей типа $\mathbb Q[\sqrt2, \sqrt{51}]$. Если же брать поля, содержащие $\mathbb R$, мы очевидно теряем архимедовость, и это скорее всего отсечёт многие применения таких расширенных метрических пространств. В итоге мы как минимум имеем $\mathbb Q, \mathbb A$ кроме $\mathbb R$, хотя последнее может использоваться в случаях, когда необходимы лишь первые, просто потому что определение с $\mathbb R$ уже на слуху и ничего не надо модифицировать; но всё же для части приложений это будет слишком сильно.

Но и упорядоченное поле — это вопрос. Требуется ведь лишь упорядоченный моноид. Например любой неориентированный граф естественно $\mathbb N$-метрического пространства (точнее, $\mathbb N$-$\infty$-метрического, или граф должен быть связным). Каковы будут причины обычной необходимости полукольца, кольца и, наконец, поля? (Вообще конечно стоило бы рассмотреть больше градаций, но вряд ли и на эти наскребётся достаточно.) Мне кажется, я как будто каким-то местом понимаю, зачем нужно умножение, но в словах и в образах пока этого не вижу.

[Mikhail_K]

arseniiv в сообщении #1495302 писал(а):

Оно могло бы в принципе быть в ходу, но пополняя его само как $\mathbb Q$-метрическое пространство, мы получим $\mathbb R$

Каким образом? Какое определение пополнения Вы здесь используете?
Было бы естественно назвать пополнением $\mathbb{Q}$-метрического пространства полное $\mathbb{Q}$-метрическое пространство, содержащее исходное в качестве всюду плотного множества. Но $\mathbb{R}$ таковым не является, и, насколько я понимаю, в этом смысле у $\mathbb{Q}$-метрического пространства $\mathbb{Q}$ нет пополнений, хотя оно и неполное.

[arseniiv]

Мда, по-моему об это место я когда-то даже спотыкался. А если взять традиционную явную конструкцию пополнения: берём последовательности Коши исходного пространства, определяем расстояние между ними как предел расстояний между соответствующими элементами — то она очевидным образом обвалится на не-всегда-существовании предела. И вообще конечно очевиднее всего, что $\mathbb R$ не может обычным образом быть понято как $\mathbb Q$-метрическое, потому что в нём есть пары точек на расстоянии, не входящем в $\mathbb Q$. Но наверно как-то можно по-хитрому…

Одна довольно неумная поправка была бы, если рассматривать в качестве расстояний тоже последовательности из тех попарных расстояний (тоже Коши), на которых сложение определено покомпонентно, равенство нулю определено тоже хорошо, а вот порядок определить не получится. А если бы получилось, мы бы могли получить $\mathbb R$ как (пусть и) $\mathbb R$-метрическое.

[EminentVictorians]

arseniiv в сообщении #1495302 писал(а):

почему область значений метрики — $\mathbb R$

Очень извиняюсь, что встреваю, но рискну. К самому $\mathbb R$ как к области значений метрики лично я (хоть меня и никто не спрашивал) отношусь нормально. Как никак это максимальное архимедово упорядоченное поле. Этого аргумента для меня абсолютно достаточно. Но меня смущает само понятие метрики. Иными словами, меня интересует, можно ли охарактеризовать все метрические пространства не упоминая $\mathbb R$ вообще?

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1495437 писал(а):

можно ли охарактеризовать все метрические пространства не упоминая $\mathbb R$ вообще?

Среди всех топологических пространств? Можно.

П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. "Наука", Москва, 1973.
Глава 1, § 11, теоремы 16 и 18.

[Anton_Peplov]

Я бы обратил внимание на разницу между понятиями "метрическое пространство" и "метризуемое пространство".

Метрическое пространство - это носитель + метрика. Две разные метрики на одном носителе дают разные метрические пространства.

Метризумое пространство - это носитель + топология с базой, которая является множеством всех открытых шаров в некоторой метрике. Важно, что одну и ту же топологию порождает бесконечное множество метрик (такие метрики называются эквивалентными). Например, тривиально, что если умножить все расстояния на один и тот же ненулевой множитель, получится эквивалентная метрика.

Теоремы о метризуемостм (их много, например, в книге Энкелькинга) дают признаки метризуемых топологических пространств, не апеллируя к R. Но с их помощью невозможно выделить конкретную метрику из множества эквивалентных метрик, порождающих данную топологию.

[EminentVictorians]

Someone, Anton_Peplov
Большое спасибо!

[arseniiv]

EminentVictorians в сообщении #1495437 писал(а):

Как никак это максимальное архимедово упорядоченное поле. Этого аргумента для меня абсолютно достаточно.

Это действительно хороший аргумент. С одной стороны (максимальное) любая последовательность Коши имеет предел. С другой стороны оно архимедово. Но можно представить пользу и от неархимедовых полей, а так же можно представить пользу от упорядоченных множеств без умножения, и вот тут оказывается, что варианты всё-таки никуда не делись.

[EminentVictorians]

arseniiv в сообщении #1496332 писал(а):

Но можно представить пользу и от неархимедовых полей

Вот я, например, очень бы хотел посмотреть на матанализ, основанный на неархимедовом расширении $\mathbb{R}$. Я как-то нагуглил нестандартный анализ Робинсона, но там было сказано, что для его освоения нужно разбираться в матлогике. Я расстроился, т.к. я в ней ноль полный и решил отложить это дело на потом. Но кстати говоря, я не понимаю, почему нельзя просто как обычно расширить одну числовую систему до другой, как это происходило со всеми стандартными расширениями: построить модель, выделить там образ при вложении, доказать изоморфизм образа и прообраза относительно операций, доказать изометричность, если она есть, и тому подобное. При чем там должна быть матлогика я не понимаю.

arseniiv в сообщении #1496332 писал(а):

что варианты всё-таки никуда не делись.

Ну я лично уверен, что рассматривать надо вообще все расширения, какие можно. Жаль только их бесконечно много получается При расширении числовой системы мы одновременно получаем и теряем какие-то свойства старой и новой систем. Если при расширении системы мы получили систему с какими-то новыми свойствами, которые помогают для решения некоторого класса задач, и потеряли те свойства, которые не сильно нужны для решения задач из этого класса, то эти задачи будут более просто решаемыми. Вот возьмем даже натуральные числа. Их расширяют либо до целых (замыкание вычитания), либо до положительных рациональных (замыкание деления). Замыкание операции - это объективно очень круто и красиво, не спорю. Но почему бы не попробовать расширить в какую-нибудь другую сторону. Вдруг можно расширить натуральные так, что какие-то новые задачи сразу упростятся? А можно вообще вопрос так задать: "когда мы изоморфно вкладываем $\mathbb{N}$ в какую-нибудь структуру, можно ли только исходя существования этого вложения получить какую-то информацию о всех этих структурах разом? Может быть в них гарантированно не будут выполняться некоторые свойства? Какие могут быть эти свойства?" и т.д. Сразу видно, например, что все эти структуры должны быть бесконечными. Но это слишком слабо. Вдруг есть какие-нибудь более сильные свойства.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1496332 писал(а):

а так же можно представить пользу от упорядоченных множеств без умножения

Умножение тоже не нужно, достаточно сложения. Точное утверждение - любая архимедова группа является подгруппой $\mathbb{R}_+$.

-- 18.12.2020, 00:24 --

EminentVictorians в сообщении #1497001 писал(а):

Но почему бы не попробовать расширить в какую-нибудь другую сторону.

Натуральные числа расширяются еще и до ординалов, и это довольно полезная теория.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1497001 писал(а):

Вот я, например, очень бы хотел посмотреть на матанализ, основанный на неархимедовом расширении $\mathbb{R}$. Я как-то нагуглил нестандартный анализ Робинсона, но там было сказано, что для его освоения нужно разбираться в матлогике. Я расстроился, т.к. я в ней ноль полный и решил отложить это дело на потом.

https://dxdy.ru/topic120528.html

[arseniiv]

EminentVictorians в сообщении #1497001 писал(а):

Но кстати говоря, я не понимаю, почему нельзя просто как обычно расширить одну числовую систему до другой, как это происходило со всеми стандартными расширениями: построить модель, выделить там образ при вложении, доказать изоморфизм образа и прообраза относительно операций, доказать изометричность, если она есть, и тому подобное. При чем там должна быть матлогика я не понимаю.

Как я понимаю, нестандартный анализ предполагался как дающий те же результаты насчёт обычных чисел, что и обычный, но дающий их при помощи манипуляций с бесконечно малыми и большими «как основатели анализа, но без потери строгости». Вот для такого соответствия и нужно подключить матлогику, чтобы разобраться, как его сделать и т. п.. А чтобы просто определять разные неархимедовы поля/кольца, содержащие вещественные числа, этого всего конечно не потребуется.

EminentVictorians в сообщении #1497001 писал(а):

А можно вообще вопрос так задать: "когда мы изоморфно вкладываем $\mathbb{N}$ в какую-нибудь структуру, можно ли только исходя существования этого вложения получить какую-то информацию о всех этих структурах разом? Может быть в них гарантированно не будут выполняться некоторые свойства? Какие могут быть эти свойства?" и т.д. Сразу видно, например, что все эти структуры должны быть бесконечными. Но это слишком слабо. Вдруг есть какие-нибудь более сильные свойства.

Кстати не всегда полезно ограничиваться вложениями, иногда и просто мономорфизмы хороши. Например $\mathbb N$ как полукольцо [с единицей] вкладывается в любое полукольцо [с единицей], что даёт нам обозначать как $0, 1, 2, 3, 4,\ldots$ какие-то элементы любого полукольца. Удобно.