Мне напомнили часа два назад одну вещь, о которой я как-то сам задумывался, но глубоко не копал, а именно почему область значений метрики —

. Кроме очевидных историко-дидактических причин приходит на ум следующее:
Подойдёт скорее всего любое упорядоченное поле, начиная с нашего наименьшего

. Оно могло бы в принципе быть в ходу, но пополняя его само как

-метрическое пространство, мы получим

и на нём зафиксируемся. Польза может быть от поля алгебраических чисел, например в точных вычислениях на компьютере чего-то, для чего рациональных расстояний недостаточно. Скорее всего мало пользы от промежуточных полей типа
![$\mathbb Q[\sqrt2, \sqrt{51}]$ $\mathbb Q[\sqrt2, \sqrt{51}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/c/39ce0123922d72799a9a85ad6dbb0baa82.png)
. Если же брать поля, содержащие

, мы очевидно теряем архимедовость, и это скорее всего отсечёт многие применения таких расширенных метрических пространств. В итоге мы как минимум имеем

кроме

, хотя последнее может использоваться в случаях, когда необходимы лишь первые, просто потому что определение с

уже на слуху и ничего не надо модифицировать; но всё же для части приложений это будет слишком сильно.
Но и упорядоченное поле — это вопрос. Требуется ведь лишь упорядоченный моноид. Например любой неориентированный граф естественно

-метрического пространства (точнее,

-

-метрического, или граф должен быть связным). Каковы будут причины обычной необходимости полукольца, кольца и, наконец, поля? (Вообще конечно стоило бы рассмотреть больше градаций, но вряд ли и на эти наскребётся достаточно.) Мне кажется, я как будто каким-то местом понимаю, зачем нужно умножение, но в словах и в образах пока этого не вижу.