Замыкание множества

[Norma]

mihaild
Множество $M$, правда $x$ там не лежит

[mihaild]

Norma в сообщении #1496713 писал(а):

Множество $M$, правда $x$ там не лежит

Напоминаю вопрос:

mihaild в сообщении #1496666 писал(а):

Как вы из этой последовательности хотите сделать бесконечное множество точек из $M$, лежащих в шаре радиуса $1$ с центром в $x$?

Вы написали какую-то фразу, похожую на кусок какого-то рассуждения. Нужное бесконечное множество явно выписать можете?
(для простоты можете даже считать, что $\rho(x_n, x) < 1$)

[Norma]

$B(x,1)=\{x_n \in M : \rho(x_n, x)<1\}$

Это верно при $n>N$

[mihaild]

Norma в сообщении #1496721 писал(а):

$B(x,1)=\{x_n \in M : \rho(x_n, x)<1\}$

Лучше $B$ в таком смысле не использовать, этот символ часто используют для обозначения шара.
И почему же это множество бесконечно?

[Norma]

mihaild
Мне кажется, что по определению сходимости.
Для $\varepsilon=1$, при любом $n>N$ выполняется неравенство $\rho(x,x_n)<\varepsilon$

[mihaild]

Norma в сообщении #1496723 писал(а):

Мне кажется, что по определению предела.

Причем тут определение предела?
Вот у нас есть множество $C = \{y \in M | \rho(y, x) < 1\}$. У нас есть последовательность $x_n$, и $\forall n: x_n \in C$. Почему $C$ бесконечно?
Более простой вопрос: верно ли, что $|C| > 1$? Почему?

[Norma]

mihaild
Потому что это множество содержит бесконечное число элементов? Если под $|C|$ подразумевается мощность множества, то да, его число элементов больше 1.

[mihaild]

Norma в сообщении #1496725 писал(а):

Потому что это множество содержит бесконечное число элементов?

Почему это?

Norma в сообщении #1496725 писал(а):

Если под $|C|$ подразумевается мощность множества, то да, его число элементов больше 1

Да, мощность. Почему больше $1$?

[Norma]

mihaild

Ну Вы сказали, что есть последовательность точек $x_n$, и $\forall n: x_n \in C$. Значит счетное число элементов $x_n$ входит во множество $C$

[mihaild]

Norma в сообщении #1496731 писал(а):

Значит счетное число элементов $x_n$

С чего вы взяли. что оно счетное?
(хорошо подумайте, прежде чем отвечать, я не просто так это спрашиваю)

[Norma]

mihaild
$\forall n: x_n \in C$.

Значит, $x_1 \in C, x_2 \in C,x_3 \in C,x_4 \in C,x_5 \in C....$

Или последовательность - это один элемент множества?

[mihaild]

Norma в сообщении #1496733 писал(а):

Значит, $x_1 \in C, x_2 \in C,x_3 \in C,x_4 \in C,x_5 \in C....$

Ну да. Как из этого следует, что в $C$ есть хотя бы два элемента?
Вы тут неявно делаете одно предположение, которое совсем не обязано быть правдой.

[Norma]

mihaild
$x_1 \in C$, $x_2 \in C$ - отсюда разве это уже не следует?

[mihaild]

Norma в сообщении #1496736 писал(а):

$x_1 \in C$, $x_2 \in C$ - отсюда разве это уже не следует?

Нет, из этого не следует, что $|C| > 1$. Подумайте над конкретным контрпримером.

[Norma]

mihaild
Сложно сказать(