2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение14.12.2020, 12:27 
Заслуженный участник


02/08/11
6906
epros в сообщении #1496459 писал(а):
Оказывается, "стандартные" аксиоматики теории множеств таких оборотов не допускают.
Ну, в теории категорий, где подобные проблемы возникают чаще, чем в других областях математики, именно поэтому активно используется универсум Гротендика, который позволяет говорить не только о "классе множеств", но и о "конгломерате классов". Теория множеств с универсумом — в общем-то тоже вполне стандартная аксиоматика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение14.12.2020, 20:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Угу, в достаточно больших теориях типов тоже используют универсумы, чтобы было и удобно, и не очевидно-противоречиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10549
А причём тут универсум? Класс всех множеств, определённых ZFC, вот Вам универсум ZFC. Тем не менее, это не поможет определить множество из двух элементов: класса всех ординалов и чего-нибудь ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 18:52 
Заслуженный участник


02/08/11
6906
epros в сообщении #1496612 писал(а):
Тем не менее, это не поможет определить множество из двух элементов: класса всех ординалов и чего-нибудь ещё.
Это поможет определить конгломерат из двух элементов — класса всех ординалов и чего-нибудь ещё. Ну или в другой терминологии очень большое множество из двух элементов — большого множества всех ординалов малых множеств и чего-нибудь ещё.

-- 15.12.2020, 19:59 --

Универсум — это множество, содержащее в качестве элементов все нужные вам множества (включая множество натуральных чисел, множество действительных чисел и вcё что понадобится впредь) и замкнутое относительно всех нужных операций, включая булеан (то есть множество всех подмножеств любого множества из универсума тоже принадлежит универсуму). После того, как такой универсум введён, производится переименование: элементы универсума отныне называются множествами, подмножества универса — классами, а произвольные множества — конгломератами. Такое переименование оправдано тем, что "новые" множества (и классы) удовлетворяют всем нужным акиомам (ZFC, NBG — каким хотите). И при этом теперь есть ещё и конгломераты, элементами которых могут быть и собственные классы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 19:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Плюс универсумы что фон Неймана, что Гротендика определены так, что если мы образуем структуру из элементов какого-то универсума, которая не лезет в него самого, но является множеством, то заведомо существует универсум побольше, включающий всё из нашего, который эту структуру уже содержит. Потому для «конечно построенных» (в смысле количества позволенных ZFC примитивных операций типа взятия объединения, булеана и прочего) структур «одного порядка» мы можем сразу считать, что мы выбрали универсум сразу такой, что вся их куча в нём лежит. Но когда мы хотим образовывать пары или булеаны из «собственных» классов, нам придётся произносить переменную, отведённую какому-то универсуму, уже всуе, потому что нам придётся различать этот маленький универсум и универсум побольше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 19:25 
Заслуженный участник


02/08/11
6906
Да, специально для бесконечного ряда универсумов есть ещё один вариант терминологии: множества являются элементами классов, классы — элементами 2-классов, 2-классы — элементами 3-классов и т. д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10549
Ок, т.е. я делаю вывод, что словосочетание "совокупность классов эквивалентности" не является криминальным, если считать, что "совокупность" - это то же самое, что "конгломерат", и в целом имеется в виду та самая интерпретация теории множеств, в которой класс всех множеств, определённых теорией, назван "универсумом" и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 20:01 
Заслуженный участник


02/08/11
6906
epros в сообщении #1496630 писал(а):
словосочетание "совокупность классов эквивалентности" не является криминальным
Само по себе оно даже в NBG не является криминальным, поскольку может использоваться неформально. Иначе говоря, существуют вполне понятные утверждения, использующие это словосочетание, и в то же время очевидным образом выразимые в языке NBG. А вот в ZFC уже не так, поскольку там уже и сами классы есть только на метатеоретическом уровне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества vs Классы
Сообщение15.12.2020, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
warlock66613 в сообщении #1496633 писал(а):
А вот в ZFC уже не так, поскольку там уже и сами классы есть только на метатеоретическом уровне.
Ну, мы же можем воспользоваться консервативным расширением языка ZFC, введя термы нового вида $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi$ — высказывательная функция (предполагается, что все свободные переменные в $\Phi$, отличные от $x$, замещены множествами). Подробнее смотрите здесь:
Справочная книга по математической логике. Под редакцией Дж. Барвайса. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.
Глава 1, § 7.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group