Множества vs Классы

[warlock66613]

epros в сообщении #1496459 писал(а):

Оказывается, "стандартные" аксиоматики теории множеств таких оборотов не допускают.

Ну, в теории категорий, где подобные проблемы возникают чаще, чем в других областях математики, именно поэтому активно используется универсум Гротендика, который позволяет говорить не только о "классе множеств", но и о "конгломерате классов". Теория множеств с универсумом — в общем-то тоже вполне стандартная аксиоматика.

[arseniiv]

Угу, в достаточно больших теориях типов тоже используют универсумы, чтобы было и удобно, и не очевидно-противоречиво.

[epros]

А причём тут универсум? Класс всех множеств, определённых ZFC, вот Вам универсум ZFC. Тем не менее, это не поможет определить множество из двух элементов: класса всех ординалов и чего-нибудь ещё.

[warlock66613]

epros в сообщении #1496612 писал(а):

Тем не менее, это не поможет определить множество из двух элементов: класса всех ординалов и чего-нибудь ещё.

Это поможет определить конгломерат из двух элементов — класса всех ординалов и чего-нибудь ещё. Ну или в другой терминологии очень большое множество из двух элементов — большого множества всех ординалов малых множеств и чего-нибудь ещё.

-- 15.12.2020, 19:59 --

Универсум — это множество, содержащее в качестве элементов все нужные вам множества (включая множество натуральных чисел, множество действительных чисел и вcё что понадобится впредь) и замкнутое относительно всех нужных операций, включая булеан (то есть множество всех подмножеств любого множества из универсума тоже принадлежит универсуму). После того, как такой универсум введён, производится переименование: элементы универсума отныне называются множествами, подмножества универса — классами, а произвольные множества — конгломератами. Такое переименование оправдано тем, что "новые" множества (и классы) удовлетворяют всем нужным акиомам (ZFC, NBG — каким хотите). И при этом теперь есть ещё и конгломераты, элементами которых могут быть и собственные классы.

[arseniiv]

Плюс универсумы что фон Неймана, что Гротендика определены так, что если мы образуем структуру из элементов какого-то универсума, которая не лезет в него самого, но является множеством, то заведомо существует универсум побольше, включающий всё из нашего, который эту структуру уже содержит. Потому для «конечно построенных» (в смысле количества позволенных ZFC примитивных операций типа взятия объединения, булеана и прочего) структур «одного порядка» мы можем сразу считать, что мы выбрали универсум сразу такой, что вся их куча в нём лежит. Но когда мы хотим образовывать пары или булеаны из «собственных» классов, нам придётся произносить переменную, отведённую какому-то универсуму, уже всуе, потому что нам придётся различать этот маленький универсум и универсум побольше.

[warlock66613]

Да, специально для бесконечного ряда универсумов есть ещё один вариант терминологии: множества являются элементами классов, классы — элементами 2-классов, 2-классы — элементами 3-классов и т. д.

[epros]

Ок, т.е. я делаю вывод, что словосочетание "совокупность классов эквивалентности" не является криминальным, если считать, что "совокупность" - это то же самое, что "конгломерат", и в целом имеется в виду та самая интерпретация теории множеств, в которой класс всех множеств, определённых теорией, назван "универсумом" и т.д.

[warlock66613]

epros в сообщении #1496630 писал(а):

словосочетание "совокупность классов эквивалентности" не является криминальным

Само по себе оно даже в NBG не является криминальным, поскольку может использоваться неформально. Иначе говоря, существуют вполне понятные утверждения, использующие это словосочетание, и в то же время очевидным образом выразимые в языке NBG. А вот в ZFC уже не так, поскольку там уже и сами классы есть только на метатеоретическом уровне.

[Someone]

warlock66613 в сообщении #1496633 писал(а):

А вот в ZFC уже не так, поскольку там уже и сами классы есть только на метатеоретическом уровне.

Ну, мы же можем воспользоваться консервативным расширением языка ZFC, введя термы нового вида $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi$ — высказывательная функция (предполагается, что все свободные переменные в $\Phi$, отличные от $x$, замещены множествами). Подробнее смотрите здесь:
Справочная книга по математической логике. Под редакцией Дж. Барвайса. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.
Глава 1, § 7.