Интегрирование метрического тензора

[Alm99]

Добрый день, уважаемые форумчане! Подскажите пожалуйста, в какой книге или ином источнике имеется информация о том, как интегрировать метрический тензор. Есть метрический тензор в одной криволинейной системе координат, а точнее для одной конкретной точки (положение рабочего органа станка), чтобы определить относительную ошибку перемещения данной точки, необходимо проинтегрировать метрический тензор... Как это осуществить?

[epros]

Alm99 в сообщении #1496603 писал(а):

необходимо проинтегрировать метрический тензор

Что это значит? Может быть Вы этими словами называете просто нахождение длины некой линии?

[Alm99]

epros
не совсем так. Вообще в принципе как интегрировать тензор?

[epros]

Зависит от того, что Вы под этим понимаете. Вообще-то интеграл, это всего лишь нечто вроде суммы (в пределе). А метрический тензор - это то, что определяет расстояния. Вот я и говорю, может Вы хотели проинтегрировать расстояния, то бишь сложить бесконечно малые длины отрезков в конечную длину линии?

[Alm99]

epros
Да, возможно я не совсем правильно сформулировал вопрос. Суть такова: есть станок, каждая точка рабочего органа перемещается согласно программе в ЧПУ, я хочу вычислить интеграл метрического тензора для каждой точки, т.е каждая точка с 3 координатами при перемещении имеет свою локальную систему координат, и чтобы понять относительную ошибку перемещения, т.е смещения точки в реальном режиме времени, от заданного смещения по управляющей программе в ЧПУ, т.е понять насколько точка при перемещении, изменила свое положение, полагая, что при перемещении, локальная система координат меняется (поворачивается относительно предыдущей и.т.д.). Т.е допустим положение точки характеризуется координатами 1;1;1, дальше происходит перемещение, и другом момент времени, или отсчет координаты по ЧПУ, положение точки уже допустим 1;2;1, но полагается, что эта система координат иная (локальная система координат), и если бы это перемещение осуществлялось абсолютно точно, в системе координат, где ее положение было 1;1;1, то тогда при перемещении, ее положение было бы к примеру 1;1.8;1.1. И надо понять, насколько ошиблась система станка, для этого я хотел проводить интегрирование тензора метрического в каждой точке, и сравнить реальное перемещение, с перемещением по ЧПУ...

[epros]

Я ничего не понял в этой постановке. Что за "рабочий орган"? Причём тут метрика? Метрика - это способ определения расстояний между точками. Координаты в трёхмерном пространстве - это тройки чисел, приписанные каждой точке. В заданной системе координат метрику можно записать в форме симметричной матрицы 3 на 3. Вот только я ничего не понял про Ваши координаты: Чем отличаются "локальные" от "глобальных", как определяются те и другие, а также причём тут точность перемещения?

[Утундрий]

Alm99 в сообщении #1496622 писал(а):

Вообще в принципе как интегрировать тензор?

Вообще, в принципе, никак. Когда кто-то начинает сгоряча интегрировать тензор, получается какая-то псевдятина и сапоги всмятку.

[пианист]

Alm99 в сообщении #1496635 писал(а):

каждая точка с 3 координатами при перемещении имеет свою локальную систему координат

А что это за система координат? Она связана с какой-то (движущейся) деталью станка?

[Alm99]

пианист
Система координат для отдельно взятой точки декартова косоугольная. Суть в том, что каждая точка, перемещаясь, в определенный момент времени (или при определенной координате) имеет разные локальные координаты, система же в ЧПУ прямоугольная декартова.

-- 15.12.2020, 22:05 --

Предыстория всего в этой теме, однако я понял, что такой подход не приводит к должному результату: https://dxdy.ru/topic142382.html

[пианист]

Сори, я все равно не въехал в задачу ;(
Возможно, к Вам на помощь придет уважаемый svv, он, вроде бы, понял.

(Оффтоп)

Alm99 в сообщении #1482600 писал(а):

Испытывает погрешность сама координата Х

Предвижу кошмарный сон: гремлин, грызущий ось абсцисс :rofl:
Если серьезно, попробуйте изложить Вашу проблему, не используя слов, однокоренных со словом "тензор"; хорошо бы обойтись также и без всяческих "систем координат".
Думаю, число участников Вашей темы от этого увеличится.

[wrest]

Насколько я понимаю, ТС имеет в виду следующее.
Имеется два кривых прутка красного и зеленого цвета. Тот что зеленый, одним концом скользит по красному. На зеленом прутку скользит "рабочий орган" $A$ станка. Станок получает команду "из нуля сдвинуться зеленому прутку вдоль красного на один сантиметр, а рабочему органу подняться по зеленому прутку на 7 сантиметров". Если бы прутки были прямые (нарисованы черным), то рабочий орган попал бы в координаты $A'$ $(1,7)$ в "черных" (декартовых) координатах, но прутки кривые, а станок об этом не знает, в результате чего проиходит ошибка позиционирования "рабочего органа", на рисунке эта ошибка $\vec{AA'}$.

Зная "уравнения" прутков, решается задача: какие команды надо подать на станок чтобы рабочий орган попал в в точку $A'$ c координатами $(1,7)$ декартовых координат. И смежная: зная "уравнения" прутков, вычислить декартовы (черные) координаты рабочего органа $A$ при перемещении зеленого прутка на 1см вправо вдоль красного и перемещении рабочего органа на 7см вверх вдоль зеленого прутка.

Upd Как один из способов решения задачи, ТС мог бы просто измерить куда на самом деле выдвигается "рабочий орган" при отработке различных пар координат (накинуть сетку какую-то разумного шага и потом аппроксимировать -- в соседней теме ТС называл это "векторным полем", где каждой точке декартовых координат $A'$ сопоставлен вектор ошибки позиционирования $\vec {A'A}$). Но дело это сложно-затратное, поскольку прутков может быть больше двух, или измерения провести и вовсе невозможно (например фотографировать станок дают, а рулить станком не дают). К этому ещё добавляются поворотные шарниры и прочая механика. В том числе, сложности связанные с тем, что в конечную точку можно попасть разными наборами шагов и шаги могут не коммутировать (порядок шагов в их последовательности имеет значение).

[Alm99]

wrest
В общем случае, задача такова, все верно. Как вариант, чтобы ее решить надо разрешить пару моментов: как измерить метрический тензор в каждой точке пространства рабочего (объемная точность станка), рассчитать какое кол-во памяти в чпу потребуется, ну и построить некую интерполяционную кривую, по которой можно определить закон изменения координат для станка любой кинематики... Но я пока размышляю, как более грамотно обосновать здесь применение метрического тензора для описания на языке тензоров движение станка и коррекцию объемной точности

[пианист]

wrest в сообщении #1496653 писал(а):

Зная "уравнения" прутков, решается задача: какие команды надо подать на станок чтобы рабочий орган попал в в точку $A'$ c координатами $(1,7)$ декартовых координат

Так все-таки эти "уравнения" известны? Что же тогда мешает посчитать необходимые корректировки управления?

[wrest]

пианист в сообщении #1496675 писал(а):

Так все-таки эти "уравнения" известны?

Мопед, как говорится, не мой

[StaticZero]

(Оффтоп)

Alm99 в сообщении #1496657 писал(а):

В общем случае, задача такова, все верно

Вот если честно. Если бы вы чётко поставили задачу с самого начала и написали бы какие-нибудь формулы (что ни скажешь, но тут wrest молодец, задачу дешифровки сообщения он решил ), а не размахивали словами "тензор" и "интеграл", задачку вы бы давно уже решили.

Не принимайте близко к сердцу только; я не о вас, а о вашей стратегии задавать вопрос. XY-проблема в полный рост.

-- 16.12.2020 в 13:35 --

ИСН в сообщении #826175 писал(а):

Положите слова на место. Если ими так размахивать, Вы можете прибить кого-нибудь или себя.