Тензор перехода в кинематической паре

[svv]

Alm99 в сообщении #1482537 писал(а):

перевод из прямоугольной в косоугольную систему, можно ли рассматривать как линейное преобразование над x,y,z

Да, конечно. Если $(x,y,z)$ — исходные декартовы координаты, а $(x',y',z')$ — координаты в другой системе (декартовой), то связь между одним и другим набором даётся линейными соотношениями. Если начала координат совпадают, соотношения однородные, иначе неоднородные.

[Alm99]

svv
День добрый, уважаемый svv! Т.е пусть мы имеем некоторую координату x, которая в косоугольной системе обозначена как $\xi$. Допустим, что мы провели измерение некоторых параметров, и выяснили что координатная ось x, искривлена, тогда необходимо совершить линейное преобразование, ну например найти полином Лагранжа, проходящий через точки, которые характеризуют отклонение оси, а потом получается проверить ортогональность этих полиномов (т.е для y и z провести аналогичные преобразования), и доказать тем самым косоугольность координат, а далее все как вы описали выше, поступаем аналогично?... Или же можно применить другое линейное преобразование? Я почему задаю, может на Ваш взгляд очевидные вопросы, потому что в принципе потом, писать надо будет программу коррекции для модуля ЧПУ, управляющего процесса, поэтому надо подробнее описать преобразование и убедить, что получим косоугольные координаты, может, конечно, есть и другие интерполяционные формулы ( вернее они есть)...

Знаю, что некоторые задачи программирования также используют афинные преобразования, ну применима ли в данном случае такой метод, имеет ли место такая аналогия?...

[Someone]

Alm99 в сообщении #1482585 писал(а):

Т.е пусть мы имеем некоторую координату x, которая в косоугольной системе обозначена как $\xi$. Допустим, что мы провели измерение некоторых параметров, и выяснили что координатная ось x

Если координата обозначена $\xi$, то она никакая не $x$, а $\xi$. Если координаты декартовы или косоугольные, и начало координат обозначено буквой $O$, то соответствующая ось называется $O\xi$. Декартовы координаты — частный случай косоугольных.

Alm99 в сообщении #1482585 писал(а):

координатная ось x, искривлена

Это означает, что система координат криволинейная, и в таком случае термин "ось" не употребляется, потому что ось — это прямая, на которой выбрано направление. Иногда встречается термин "координатные линии", но это соответствует не осям координат, потому что обозначает линию, вдоль которой все координаты, кроме одной, являются постоянными.
Например, если у нас три координаты $x,y,z$, то линия, на которой координаты $x$ и $z$ сохраняют постоянное значение, а $y$ принимает все доступные ей значения, является координатной линией.

Alm99 в сообщении #1482585 писал(а):

тогда необходимо совершить линейное преобразование

Преобразование координат от декартовых или косоугольных координат к криволинейным (и обратно) не является линейным. При чём тут полином Лагранжа, я не понял.

[Alm99]

Someone

Цитата:

Преобразование координат от декартовых или косоугольных координат к криволинейным (и обратно) не является линейным. При чём тут полином Лагранжа, я не понял.

А какое тогда преобразование, как перейти от прямоугольных декартовых к косоугольным декартовым, можете помочь?

[svv]

Исходя из Вашей задачи, я бы предложил следующее.

Предполагаю, что:
$\bullet$ $x^1, x^2, x^3$ — «физические» декартовы координаты, связанные с одной из частей Вашей системы;
$\bullet$ $\xi^1,\xi^2,\xi^3$ — «цифровые» координаты, задаваемые станку в цифровом виде для отработки;
$\bullet$ связь между $(x^i)$ и $(\xi^i)$ с достаточной степенью точности (но не абсолютно точно) выражается линейными соотношениями:
$\begin{array}{l}x^1=c^1{}_{1}\xi^1+c^1{}_{2}\xi^2+c^1{}_{3}\xi^3+c^1{}_{0}\\x^2=c^2{}_{1}\xi^1+c^2{}_{2}\xi^2+c^2{}_{3}\xi^3+c^2{}_{0}\\x^3=c^3{}_{1}\xi^1+c^3{}_{2}\xi^2+c^3{}_{3}\xi^3+c^3{}_{0}\end{array}$
или, короче, $x^i=\sum\limits_{k=1}^3 c^i{}_k\xi^k+c^i{}_0,\;i=1,2,3.$

Далее можно поставить задачу: найти декартовы (в общем случае косоугольные) координаты $(\xi^i)$, наилучшим образом соответствующие результатам измерений. Для этого нужно проделать некоторое достаточное избыточное количество измерений, типа «задаём $(\xi^i_\ell)$, измеряем $(x^i_\ell)$», где $\ell$ — номер измерения. Затем по методу наименьших квадратов найти значения $c^i{}_k$, при которых минимизируется сумма квадратов невязок:
$\sum\limits_{\ell=1}^N \sum\limits_{i=1}^3\left(\sum\limits_{k=1}^3 c^i{}_k\xi^k_\ell+c^i{}_0-x^i_\ell\right)^2$

[Someone]

Alm99 в сообщении #1482588 писал(а):

как перейти от прямоугольных декартовых к косоугольным декартовым, можете помочь?

Косоугольные координаты — не криволинейные. В них есть нормальные прямолинейные оси координат, только они не перпендикулярны друг другу. Преобразования от декартовых координат к косоугольным и обратно — линейные. Как, впрочем, и преобразования от одних косоугольных координат к другим.

Я, к сожалению, не разобрался, что Вам нужно, но svv, вроде бы, что-то понял.

[svv]

Честно говоря, процентов 30%, наверное, из всего сказанного автором темы.

[Alm99]

Someone
Я имел ввиду что рассматриваю я координаты косоугольные, а потом "перевожу" в криволинейные.

-- 09.09.2020, 16:38 --

svv
Someone

Исполнительный механизм станка, получив команду, скажем, на прямолинейное движение вдоль оси ОХ, на самом деле реализует сложное криволинейное движение, обусловленное различными погрешностями и несовершенствами деталей и механизмов станка, передач, неравномерностями вращения двигателей и т.д., и т.п. Испытывает погрешность сама координата Х (дали команду выдвинуться в 100,105 мм, а выдвинулся, скажем, в 100,107 мм), но происходят также смещения по осям OY и OZ, да ещё и угловые "вихляния" рабочего органа (крен, тангаж, рысканье).

Аналогичные вещи происходят и при перемещениях и по другим координатам, и в угловых направлениях. В общем случае, задача коррекции объёмной точности заключается в том, чтобы провести измерения в рабочем объёме станка, составить объёмную карту погрешностей (как векторное поле), и на её основе ввести в управляющую программу станка поправки, чтобы выводить рабочий орган в заданную точку с большей точностью.

С геометрической точки зрения, всё это напоминает движение в искривлённом пространстве. Если рассматривать рабочее пространство станка как искривлённое, то напрашиваются к использованию методы дифференциальной геометрии и тензорного исчисления. В ВУЗах станкостроительной направленности эти разделы математики не изучаются, поэтому, наверно, никто пока
не догадался применить тензорный аппарат в описании объёмной точности станков.

Аппарат тензоров должен, по идее, дать возможность более компактной записи всех соотношений и уравнений, определяющих объёмную точность машины. Кроме того, поскольку все свойства риманова (искривлённого) пространства определяются метрическим тензором, и его производными - так называемыми символами Кристоффеля, - то и метрика измерений будет строиться соответствующим образом: не просто тупо шарить по всему рабочему объёму и определять вектор погрешности в каждой точке, а, возможно, строить некие кривые, оптимальные в плане информативности для определения компонент метрического тензора.


В общем, видится такая программа работы на несколько лет:
1. Освоить аппарат тензорного исчисления и дифференциальной геометрии искривлённых пространств.
2. Переписать на тензорном языке имеющиеся уравнения отдельных звеньев и механизмов, собранных из этих звеньев.
3. Исходя из полученных описаний, научиться строить метрические тензоры для станков различной кинематики и, соответственно, оптимальные стратегии измерений и коррекции объёмных погрешностей.


Задача коррекции объёмной погрешности машин, в т.ч. станков, и в самом деле грандиозна. Есть у этой погрешности и динамические, и температурные составляющие, и систематические, и случайные, - в общем, много там всего. Пока берём простейшую ситуацию - геометрическую точность в статическом режиме.

Мне сейчас нужно переписать в тензорном виде выражения, приведённые в https://drive.google.com/file/d/1pPqL-_KYiSX-EIrCKNszGLewUa6b34zA/view?usp=sharing, и хотя бы не для станка в целом с его 6-ю координатами, а для двух кинематических пар, следующих одна за другой (собственно этот случай я и рассматриваю в данной теме форума). Показать, как в тензорном виде производится получение выражений, последовательная замена координат. В данном случае для вращательной кинематической пары из первого поста в теме.

В ЧПУ считается, что координатные оси прямоугольные, а перемещения по ним осуществляются совершенно точно. То есть метрический тензор - единичный, а координаты декартовы. На самом же деле, оси как-то искривлены, и движение по ним происходит не равномерно в том смысле, что одинаковые приращения координат по ЧПУ приводят к разным перемещениям в зависимости от того, на каком участке оси это происходит. Это можно записать на тензорном языке. Координаты в ЧПУ при этом надо рассматривать как обобщённые, а сам метрический тензор не единичен, имеет внедиагональные компоненты, да ещё и нелинейно зависит от обобщённых координат (svv обратил мое внимание, на то, что вывод слишком радикальный) То есть имеем пространство переменной кривизны.

При обработке детали на станке известна траектория, которую рабочий орган должен описывать, но в идеальных координатах. Задача коррекции объёмной погрешности сводится теперь к пересчёту координат в системе ЧПУ таким образом, чтобы эта идеальная кривая была бы описана, но при управлении по обобщённым координатам с учётом кривизны пространства.

Сейчас стоит задача записи выражений для вращательной пары, т.е в тензорном формализме переписать матрицы обобщенных перемещений, а точнее говоря матрицу перехода...

Я прошу прощения, за столь длинное сообщение!

А проблема в том, что рассматривая косоугольные декартовы координаты для корпуса планшайбы, и цилиндрическую для самой планшайбы, я не могу описать правильно метрический тензор, поскольку сама цилиндрическая система координат ортогональная, метрический тензор будет иметь нулевые внедиагональные компоненты, а в косоугольной декартовой они ненулевые...

[svv]

Alm99 в сообщении #1482600 писал(а):

С геометрической точки зрения, всё это напоминает движение в искривлённом пространстве. Если рассматривать рабочее пространство станка как искривлённое, то напрашиваются к использованию методы дифференциальной геометрии и тензорного исчисления.

Признаюсь, меня ставит в тупик идея применять здесь пространства с кривизной — просто не вижу их здесь. Хочу ещё раз повторить, что никаким преобразованием координат Вы не получите искривлённое пространство из пространства с нулевой кривизной, каковым с огромной точностью является наше трёхмерное евклидово пространство. Использование криволинейных координат не означает использование риманова пространства с кривизной!

При этом я не отрицаю, что такие пространства в принципе могут быть использованы в Вашей задаче — на каком-то более абстрактном уровне, чем понятие физического пространства. Но в этом случае все взаимосвязи [нетрадиционные] и обоснования — исключительно за Вами.

Alm99 в сообщении #1482600 писал(а):

1. Освоить аппарат тензорного исчисления и дифференциальной геометрии искривлённых пространств.

Эта идея в любом случае очень хорошая.

[Alm99]

Someone
это я опечатался