Площадь поверхности как производная объема

[Munin]

Добавлю, что как подсказывает Mihr, правильный параметр должен быть выбран таким образом, что его увеличение приведёт к смещению поверхности во всех точках по нормали на одно и то же расстояние - на величину этого параметра. Это общий рецепт.

[Red_Herring]

Шар, куб, что ещё?

Пусть дано семейство поверхностей $S_a$, непрерывно зависящих от параметра $a$, т.ч. расстояние от любой точки $x\in S_{a+\delta} $ до ближайшей точки $S_a$ равно $ \delta+o(\delta)$ при $\delta \ll 1$. Ну тогда будет аналогичная формула $v'(a)=s(a)$, где $v(a)$ объём между $S_a$ и $S_0$, а $s(a)$ поверхность $S_a$.

(Оффтоп)

Один мой знакомый работал художником в горсовете и каждый праздник он освежал краской памятники ВИЛ. Однажды он предложил ошкурить их удалив старые слои краски, подсчитав толщину накопившейся за многие годы краски, а также заметив что ВИЛ уже сам на себя не похож—но ему велели не умничать

[Mihr]

Red_Herring в сообщении #1087555 писал(а):

Шар, куб, что ещё?

Первое, что приходит в голову (из знакомых образов), - любое из четырёх других (помимо куба) платоновых тел.

[Munin]

Ну, они все одинаковы, и подобны кубу и шару. Куда интереснее менее симметричные тела, в частности невыпуклые.

[Mihr]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1087565 писал(а):

Куда интереснее менее симметричные тела, в частности невыпуклые.

Не могу не согласиться.

[Red_Herring]

Одна поверхность ($S_0$) произвольна, остальные строятся автоматически. Примерно как поверхности многократно крашенного ВИЛа, о коих я писал в офф-топе.

[prof.uskov]

Mihr в сообщении #1087545 писал(а):

Производная по $l$ не годится сама по себе: направление пространственной диагонали куба не совпадает с направлением нормали к поверхности. Соответственно, приращение $l$ - это не толщина "слоя краски".

Теперь понятно, параметр должен быть такой, чтобы его приращение было "приращением слоя краски" т.е. совпадать с направлением нормали к поверхности, для шара - это радиус, для куба - это отрезок от центра масс до середины грани.

[Munin]

prof.uskov в сообщении #1087575 писал(а):

для куба - это отрезок от центра масс до середины грани.

Как вы изощрённо формулируете! Нет бы сказать просто: половина стороны...

[kavict]

Еще интересное:

Производная от объема шара по площади поверхности равна половине его радиуса, т.е. величине, обратной удвоенной средней кривизне поверхности. Это справедливо для всех тел, ограниченных поверхностью постоянной средней кривизны. Кажется, у Гаусса есть такая теорема.

Если же тело изменяет свою форму, не меняя объема, и сохраняет свойство поверхности иметь постоянную среднюю кривизну (например, свободная поверхность жидкого тела), то и тогда производная от перемещенного объема (post906759.html#p906759) по поверхности равна удвоенной средней кривизне.

[Lia]

kavict
Замечание за оффтоп.

[sea]

Мертвая тема конечно. Но все же.

Цитата:

Не совсем очевидно почему формула справедлива лишь для шара. Например, для куба производную объема нужно умножать на 2, чтобы получить площадь поверхности.
Сформулирую по другому. Объем шара пропорционален кубу его радиуса. Площадь шара пропорциональна квадрату радиуса, точно также как и производная от объема шара. Неожиданно здесь то, что коэффициент пропорциональности между производной объема и площадью поверхности оказался равен 1.

Тут можно по аналогии с шаром поступить следующим образом. Куб достаточно жесткое тело в плане изменения одной линейной характеристики. Поэтому надо взять параллелепипед. Положить 2 ребра фиксированного размера - a, а одно - переменного - b. Тогда объем, очевидно, $V = a^2 \cdot b$.

Если взять отношение приращения объема к приращению размера грани, получим:
$\frac{\Delta V}{\Delta b} = Sgr$, где Sgr - площадь одной грани. Тогда площадь поверхности всего тела - $6 \cdot Sgr$. Ну и переходя сразу к пределу при приращении аргумента, стремящегося к нулю, получим:

$\frac{dV}{db} = a^2$. И общую площадь поверхности $Spov = 6 \cdot a^2$.

Вот скорее это ближе к примеру со сферой. Это справедливо только в случае изменения одной линейной характеристики тела. Если же говорить, как изначально было в посте, об изменении ребра куба, то получается изменение сразу в трех измерениях. Поэтому и производная объема по величине ребра и НЕ равна площади поверхности куба, в отличие от производной от объема по радиусу для шара.

[geomath]

Я озадачен. Производная площади круга есть длина его периметра, а производная объема шара есть площадь его поверхности. Какой физический смысл в таком случае имеет производная площади сферы? (Всюду в качестве аргумента подразумевается радиус.)

[StaticZero]

geomath в сообщении #1496121 писал(а):

Какой физический смысл в таком случае имеет производная площади сферы?

В каком направлении приращается объём тут уже выяснили -- это нормаль к поверхности. А в каком направлении приращается сама поверхность?

Боюсь, ответ отрицательный: смысла нет (в смысле смысла покраски; может, дифгеометры что-то и выцарапают отсюда).

[Mihr]

geomath в сообщении #1496121 писал(а):

Какой физический смысл в таком случае имеет производная площади сферы?

Если площадь сферы - это скорость изменения объёма шара, то выходит, что производная площади сферы - это уже ускорение. Сойдёт за "физический смысл"?

[geomath]

Mihr в сообщении #1496214 писал(а):

Если площадь сферы - это скорость изменения объёма шара, то выходит, что производная площади сферы - это уже ускорение. Сойдёт за "физический смысл"?

Не знаю, нехорошо как-то. Размерности у скорости и ускорения не те.