2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Добавлю, что как подсказывает Mihr, правильный параметр должен быть выбран таким образом, что его увеличение приведёт к смещению поверхности во всех точках по нормали на одно и то же расстояние - на величину этого параметра. Это общий рецепт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10523
Hogtown
Шар, куб, что ещё?

Пусть дано семейство поверхностей $S_a$, непрерывно зависящих от параметра $a$, т.ч. расстояние от любой точки $x\in S_{a+\delta} $ до ближайшей точки $S_a$ равно $ \delta+o(\delta)$ при $\delta \ll 1$. Ну тогда будет аналогичная формула $v'(a)=s(a)$, где $v(a)$ объём между $S_a$ и $S_0$, а $s(a)$ поверхность $S_a$.

(Оффтоп)

Один мой знакомый работал художником в горсовете и каждый праздник он освежал краской памятники ВИЛ. Однажды он предложил ошкурить их удалив старые слои краски, подсчитав толщину накопившейся за многие годы краски, а также заметив что ВИЛ уже сам на себя не похож—но ему велели не умничать

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3393
Red_Herring в сообщении #1087555 писал(а):
Шар, куб, что ещё?

Первое, что приходит в голову (из знакомых образов), - любое из четырёх других (помимо куба) платоновых тел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Ну, они все одинаковы, и подобны кубу и шару. Куда интереснее менее симметричные тела, в частности невыпуклые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3393

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1087565 писал(а):
Куда интереснее менее симметричные тела, в частности невыпуклые.

Не могу не согласиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10523
Hogtown
Одна поверхность ($S_0$) произвольна, остальные строятся автоматически. Примерно как поверхности многократно крашенного ВИЛа, о коих я писал в офф-топе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что Вас потрясло в математике?
Сообщение02.01.2016, 14:30 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Mihr в сообщении #1087545 писал(а):
Производная по $l$ не годится сама по себе: направление пространственной диагонали куба не совпадает с направлением нормали к поверхности. Соответственно, приращение $l$ - это не толщина "слоя краски".

Теперь понятно, параметр должен быть такой, чтобы его приращение было "приращением слоя краски" т.е. совпадать с направлением нормали к поверхности, для шара - это радиус, для куба - это отрезок от центра масс до середины грани.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение02.01.2016, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
prof.uskov в сообщении #1087575 писал(а):
для куба - это отрезок от центра масс до середины грани.

Как вы изощрённо формулируете! Нет бы сказать просто: половина стороны...

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение05.01.2016, 19:02 


17/12/13
96
Еще интересное:

Производная от объема шара по площади поверхности равна половине его радиуса, т.е. величине, обратной удвоенной средней кривизне поверхности. Это справедливо для всех тел, ограниченных поверхностью постоянной средней кривизны. Кажется, у Гаусса есть такая теорема.

Если же тело изменяет свою форму, не меняя объема, и сохраняет свойство поверхности иметь постоянную среднюю кривизну (например, свободная поверхность жидкого тела), то и тогда производная от перемещенного объема (post906759.html#p906759) по поверхности равна удвоенной средней кривизне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение05.01.2016, 21:26 
Модератор


20/03/14
11616
 !  kavict
Замечание за оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение26.05.2020, 12:09 


26/05/20
1
Мертвая тема конечно. Но все же.

Цитата:
Не совсем очевидно почему формула справедлива лишь для шара. Например, для куба производную объема нужно умножать на 2, чтобы получить площадь поверхности.
Сформулирую по другому. Объем шара пропорционален кубу его радиуса. Площадь шара пропорциональна квадрату радиуса, точно также как и производная от объема шара. Неожиданно здесь то, что коэффициент пропорциональности между производной объема и площадью поверхности оказался равен 1.


Тут можно по аналогии с шаром поступить следующим образом. Куб достаточно жесткое тело в плане изменения одной линейной характеристики. Поэтому надо взять параллелепипед. Положить 2 ребра фиксированного размера - a, а одно - переменного - b. Тогда объем, очевидно, $V = a^2 \cdot b$.

Если взять отношение приращения объема к приращению размера грани, получим:
$\frac{\Delta V}{\Delta b} = Sgr$, где Sgr - площадь одной грани. Тогда площадь поверхности всего тела - $6 \cdot Sgr$. Ну и переходя сразу к пределу при приращении аргумента, стремящегося к нулю, получим:

$\frac{dV}{db} = a^2$. И общую площадь поверхности $Spov = 6 \cdot a^2$.

Вот скорее это ближе к примеру со сферой. Это справедливо только в случае изменения одной линейной характеристики тела. Если же говорить, как изначально было в посте, об изменении ребра куба, то получается изменение сразу в трех измерениях. Поэтому и производная объема по величине ребра и НЕ равна площади поверхности куба, в отличие от производной от объема по радиусу для шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение12.12.2020, 09:04 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Я озадачен. Производная площади круга есть длина его периметра, а производная объема шара есть площадь его поверхности. Какой физический смысл в таком случае имеет производная площади сферы? (Всюду в качестве аргумента подразумевается радиус.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение12.12.2020, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2126
/dev/zero
geomath в сообщении #1496121 писал(а):
Какой физический смысл в таком случае имеет производная площади сферы?

В каком направлении приращается объём тут уже выяснили -- это нормаль к поверхности. А в каком направлении приращается сама поверхность?

Боюсь, ответ отрицательный: смысла нет (в смысле смысла покраски; может, дифгеометры что-то и выцарапают отсюда).

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение12.12.2020, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3393
geomath в сообщении #1496121 писал(а):
Какой физический смысл в таком случае имеет производная площади сферы?

Если площадь сферы - это скорость изменения объёма шара, то выходит, что производная площади сферы - это уже ускорение. Сойдёт за "физический смысл"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь поверхности как производная объема
Сообщение12.12.2020, 22:30 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Mihr в сообщении #1496214 писал(а):
Если площадь сферы - это скорость изменения объёма шара, то выходит, что производная площади сферы - это уже ускорение. Сойдёт за "физический смысл"?

Не знаю, нехорошо как-то. Размерности у скорости и ускорения не те.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group