Новый раздел геометрии?

[kavict]

Перемещенный объем при деформации тела из несжимаемого вещества определяется так: совмещаются формы тела до деформации и после таким образом, чтобы их пересечение
было максимальным. Объем частей любого из тел, не вошедших в это пересечение и есть перемещенный объем вещества при данной деформации.

[bayak]

kavict в сообщении #905980 писал(а):

Идея перемещенного объема, вообще говоря, не нова. В геометрии существует такое понятие как расстояние между формами по объему. Определяется оно почти так же, как только что описали – две формы, не обязательно равновеликие, совмещаются с максимальным пересечением и измеряются объемы их частей, не вошедшие в это пересечение. Сумма всех этих выступающих объемов и есть искомая величина.
В нашем случае мы ограничиваемся сравнением только равновеликих форм, и берем не все расстояние между этими формами по объему, а половину его, что соответствует нашему понятию перемещенного объема."

Конечно, это объяснение, как говорится, "на пальцах". Но как это понятие перевести
на язык математики, я не знаю, поэтому и обращаюсь к профессионалам.

Посмотрите главу "Минимальные поверхности" в "Начальных главах дифференциальной геометрии" Торпа и Вы увидите там вариации границы поверхности вместе с перемещаемым объёмом. Заодно посмотрите упражнение 12.18 где показано как вычисляется средняя кривизна поверхности уровня функции. Ну и, наконец, загляните в личку.

[Munin]

kavict в сообщении #906759 писал(а):

Перемещенный объем при деформации тела из несжимаемого вещества определяется так: совмещаются формы тела до деформации и после таким образом, чтобы их пересечение было максимальным. Объем частей любого из тел, не вошедших в это пересечение и есть перемещенный объем вещества при данной деформации.

Ну вот, не трудно же было? Но теперь у вас не одна, а две задачи: одна на вычисление поверхности, а другая на совмещение с максимальным пересечением.

[Dan B-Yallay]

kavict в сообщении #906759 писал(а):

Перемещенный объем при деформации тела из несжимаемого вещества определяется так: совмещаются формы тела до деформации и после таким образом, чтобы их пересечение
было максимальным. Объем частей любого из тел, не вошедших в это пересечение и есть перемещенный объем вещества при данной деформации.

Является ли мера перемещенного обьема аддитивной? То есть, если мысленно разбить деформируемое тело на 2 части и посчитать перемещенный обьем "по частям" и затем сложить - должно ли полученное значение быть равно перемещенному обьему целого?

[kavict]

Ответ на вопрос, является ли перемещенный объем аддитивной мерой, я пытался найти так:
рассматривал две последовательные деформации некоторого многогранника, вычислял перемещенный объем на каждой из деформаций и сравнивал их сумму с перемещенным объемом,
найденным из сравнения начальной и конечной (после двух деформаций) форм. Получилось, что в пределах погрешностей расчетов результаты совпадают. Конечно, это один из частных
случаев, но доказательств аддитивности этой меры в общем случае у меня нет.

[Deggial]

kavict в сообщении #906956 писал(а):

Ответ на вопрос, является ли перемещенный объем аддитивной мерой, я пытался найти так:

Эта мера неаддитивна.

[Munin]

А это вообще мера?

[bayak]

kavict, попробуйте исходить из того геометрического факта, что

$\begin{equation} \lim\limits_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{S(\Delta\Phi_{2})- S(\Delta\Phi_{1})}{\Delta V}=\operatorname{div} n(x), \end{equation}
где $\Delta V$ - объём, заметаемый площадкой $\Delta\Phi_{2}$ при ортогональном переносе площадки $\Delta\Phi_{1}$ на предельно малое расстояние с поверхности уровня $\Phi_{1}$ на поверхность уровня $\Phi_{2}$, а единичный вектор $n(x)$ ортогонален к плоскости, касательной к поверхности уровня функции $\varphi(x)$ в точке $x$.

Ваша задача состоит в том, чтобы найти здесь физику. Ключевой момент - давление на боковую стенку построенного элемента объёма должно быть нулевым.

[bayak]

В качестве разъяснения добавлю, что под ортогональным переносом здесь понимается ортогональное проектирование границы площадки с одной поверхности уровня на другую.

[kavict]

Deggial в сообщении #906963 писал(а):

kavict в сообщении #906956 писал(а):

Ответ на вопрос, является ли перемещенный объем аддитивной мерой, я пытался найти так:

Эта мера неаддитивна.

Откуда такой вывод?

[bayak]

kavict, если Вы ещё не заглядывали в книгу Торпа, то напрасно, поскольку оттуда Вы бы узнали, что средняя кривизна поверхности уровня вычисляется по формуле

$$H(x)=-\frac{1}{2}\operatorname{div}n(x)$$

[Dan B-Yallay]

kavict в сообщении #908507 писал(а):

Откуда такой вывод?

Подумайте немного. Пример практически тривиален.

[kavict]

bayak в сообщении #909251 писал(а):

kavict, если Вы ещё не заглядывали в книгу Торпа, то напрасно, поскольку оттуда Вы бы узнали, что средняя кривизна поверхности уровня вычисляется по формуле

$$H(x)=-\frac{1}{2}\operatorname{div}n(x)$$

Ознакомился с книгой Дж.Торпа "Начальные главы дифференциальной геометрии".
Насколько я смог понять, данное там в гл.4 определение поверхности, на котором
строится вся теория, недостаточно для описания поверхности жидкого тела.
Необходимо ее доопределение:
1.Поверхность должна быть замкнутой (не иметь края).
2.Объем пространства, ограниченный поверхностью, должен быть заданным и
постоянным при любых изменениях поверхности.
3.В общем случае поверхность должна состоять из участков двух видов:
- свободная поверхность постоянной средней кривизны - определяется
заданным объемом и условиями деформации жидкого тела;
- поверхности контакта - их вид задается формой поверхностей, сжимающих
тело, а границы - условиями деформации.
При этом все эти участки поверхности должны быть сопряжены - иметь общую
касательную плоскость в точках соединения. Расположение поверхностей
контакта должно быть согласованным, чтобы обеспечивать равновесие тела.

Может быть что-то еще.

На основании этого осмелюсь сделать вывод, что теория, изложенная в книге
Дж.Торпа, в целом неприменима к поверхности жидкого тела.
Нужно что-то другое.

[Munin]

"Я читал книгу про сложение, но там не было интересующего меня примера $38+17.$ Необходимо дописать эту книгу. Осмелюсь сделать вывод, что теория, изложенная в книге, в целом неприменима к этому примеру. Нужно что-то другое."

[bayak]

kavict в сообщении #918470 писал(а):

На основании этого осмелюсь сделать вывод, что теория, изложенная в книге
Дж.Торпа, в целом неприменима к поверхности жидкого тела.
Нужно что-то другое.

Поищите тогда теорию, на оснловании которой выводится форма эритроцитов (красных кровяных телец). Вдруг она и Вам подходит.