2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Беда с вариационным принципом.
Сообщение01.12.2020, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Alex-Yu в сообщении #1494458 писал(а):
Вариационное исчисление? Для знающего матан это такая банальность... Ну полистать вечерок учебник (любой). А можно и не листать, из ЛЛ1 все и так ясно.
Эта цитата навеяла воспоминания. Рассмотрим задачу об экранировании внешнего электрического поля электронным газом на поверхности не важно чего. В первом приближении (приближении среднего поля) задача сводится к решению системы уравнений
$$
\begin{align}
&-\Psi''+\Phi\Psi=E\Psi\\
&\Phi''= \Psi^2\\
&\Psi(0)=\Psi(\infty)=0\\
&\Phi'(0)=1,\,\Phi'(\infty)=0
\end{align}
$$
Для нахождения энергии основного состояния воспользуемся вариационным принципом. Выберем волновую функцию
$$\Psi=2a^\frac{3}{2}xe^{-ax},$$Сосчитаем потенциал, положив его в нуле нулем:
$$\Phi(x)=\int\limits_{0}^{x}\left(\int\limits_{0}^{y}|\Psi(t)|^2dt-1\right)dy.$$Получим такую картинку
$$\Phi(x)=\frac{e^{-2 a x} \left(-2 a x (a x+2)+3 e^{2 a x}-3\right)}{8 a^2}$$
Вложение:
.png
.png [ 4.82 Кб | Просмотров: 761 ]

Сосчитаем функционал энергии
$$H=\int\limits_{0}^{\infty}\left(\Psi'^2(x)+\Phi(x)\Psi^2(x)\right)dx=a^2+\frac{33}{128 a^2}$$Находим минимум по $a$ и радуемся жизни.

А теперь давайте положим потенциал нулем на бесконечности (поле в нуле останется то же самое):
$$
\begin{align}
&\Phi(x)=-\int\limits_{x}^{\infty}\left(\int\limits_{0}^{y}|\Psi(t)|^2dt-1\right)dy\\
&\Phi(x)=-\frac{e^{-2 a x} (2 a x (a x+2)+3)}{8 a^2}
\end{align}
$$
Вложение:
1.png
1.png [ 4.8 Кб | Просмотров: 761 ]

Считаем $H$ и с изумлением получаем
$$H=a^2-\frac{15}{128 a^2},$$ т.е. никакого минимума у функционала энергии нет. Беря разные значения потенциала на бесконечности можно таким способом получать самые разные энергии основного состояния. С другой стороны, все знают, что от сдвига на константу ничего не должно меняться, разве что начало отсчета энергии сдвинется. Вопрос: что за фигня?

Вопрос обращен к физикам, изучавшим вариационное исчисление по Ландау-Лифшицу. Математики, IMHO, на него мгновенно ответят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда с вариационным принципом.
Сообщение02.12.2020, 10:49 
Заслуженный участник


21/09/15
998
А вот математики. После того как ответят что за фигня, скажут ли они как правильно? А если скажут, ткнут ли носом в учебник, где это написано? Или придумают сами.
А если придумают сами, будет ли это что-то такое, на что физики (скажем, не очень грамотные математически физики) не способны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда с вариационным принципом.
Сообщение02.12.2020, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
AnatolyBa в сообщении #1494831 писал(а):
После того как ответят что за фигня, скажут ли они как правильно? А если скажут, ткнут ли носом в учебник, где это написано?
Скажут. Ткнуть могут, например, в учебник Смирнова. Куда - пока не скажу, что бы интригу не разрушать. Самому тоже можно догадаться, но с напрягом (я в свое время, 40 лет назад, не догадался, но нашел ответ в упомянутом учебнике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда с вариационным принципом.
Сообщение03.12.2020, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Видимо, надо написать подробности, исправить то, что второпях я неправильно написал и дать некие наводящие соображения.
Рассмотрим газ невзаимодействующих электронов, заполняющих полупространство $x\ge 0.$ Электроны болтаются в некотором потенциале $V(x)$ и описываются гамильтонианом
$$\hat{H}=\frac{\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2}{2}+V(x)\quad (*).$$
В первом приближении будем считать, что потенциал $V(x)$ это просто $V=e\varphi,$ где $e$ - заряд электрона, а $\varphi$ - электростатический потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона (приближение Хартри)
$$ \begin{align} 
&-\varphi''(x)=4\pi e n \Psi^2(x)\\
&-\varphi'(0)=E,\,\varphi'(\infty)=0.
 \end{align} $$
Здесь $n$ - двумерная плотность электронов, $E$ - внешнее электрическое поле, мы считаем, что все электроны сидят на нижнем уровне гамильтониана $H.$ Можно выбрать единицы измерения так, что все константы в уравнениях превращаются в единицы, учесть, что заряд электрона отрицателен и положить $k_y=k_z=0.$ Тогда получим систему уравнений$$ \begin{align} &-\Psi''+\Phi\Psi=E\Psi\\ &\Phi''=\Psi^2\\ &\Psi(0)=\Psi(\infty)=0\\ &\Phi'(0)=1,\,\Phi'(\infty)=0 \end{align} $$
(В первом посте у меня было по привычке написано $4\pi$ в Пуассоне, и наврано со знаками в уравнениях, в вычислениях все нормально - виноват.)
Система получилась Лагранжева с действием
$$\int\limits_{0}^{\infty}dx\left(\left\Psi'^2(x)+\Psi^2(x)\Phi(x)-E\Psi^2(x)\right)+\frac{1}{2}\Phi'^2(x)\right)ю$$
Вопрос: каким граничным условиям удовлетворяют экстремали этого функционала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда с вариационным принципом.
Сообщение04.12.2020, 17:25 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Ну что-ж, я шел по этому пути, только запутался в знаках. Хорошо, а то я думал, что совсем уже не соображаю.
Мне кажется (полистал Смирнова), вы намекаете на условие $\Phi(0)=0$ в доплнении к уже написанным. Оно позволяет не заморачиваться членами $\Phi'(0)\delta \Phi(0)$ возникающими при варьировании.
А правилно ли что в лагранжиан входит $E\Psi^2$ ? Не должна ли энергия сама получаться после нахождения функций как $\int\limits_{0}^{\infty}dx\left(\Psi'^2(x)+\Psi^2(x)\Phi(x)\right)$ (при нормировке $\Psi$ на единицу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда с вариационным принципом.
Сообщение04.12.2020, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
AnatolyBa в сообщении #1495292 писал(а):
вы намекаете на условие $\Phi(0)=0$ в доплнении к уже написанным.
Я намекаю на то, что стандартная вариационная задача предполагает некоторые стандартные граничные условия.
AnatolyBa в сообщении #1495292 писал(а):
А правилно ли что в лагранжиан входит $E\Psi^2$ ?
В такой постановке $E$ это множитель Лагранжа, который аккурат ставит условие нормировки волновой функции на единицу. Если мы заранее выбрали пробную волновую функцию нормированной, то этот член можно выкинуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда с вариационным принципом.
Сообщение07.12.2020, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Видимо, пора писать ответ как я его понимаю. Есть у нас вариационная задачка
$$S=\int\limits_{0}^{\infty}dx\left(\left\Psi'^2(x)+\Psi^2(x)\Phi(x)-E\Psi^2(x)\right)+\frac{1}{2}\Phi'^2(x)\right),$$найти экстремаль $S.$ Если к действию ничего не дописывать, то возможны такие варианты: задача с фиксированными концами - зафиксированы значения функции на концах промежутка интегрирования. Для рассматриваемой задачи это условия $\Psi(0)=\Psi(\infty)=0.$ И задача со свободными концами, когда значения искомой функции на концах промежутка вообще не фиксированы. В последнем случае у уравнения Эйлера-Лагранже возникают так называемые естественные граничные условия, которые в рассматриваемой задаче - условие на потенциал в бесконечности - $\left.\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Phi'}\right|_{x=\infty}=0=\Phi'(\infty).$

Условие $\Phi'(0)=1$ не относится ни к одному из этих стандартных условий, и що з ним робити сходу не понятно. Именно благодаря ему возникает внеинтегральный член, зависящий от значения потенциала в нуле. Мне, в свое время, помог рецепт, подсмотренный в учебнике Смирнова Курс высшей математики т.4 часть 1 глава II, вариационное исчисление, параграф 84, "функционалы более общего типа". Там сказано, что для того, что бы получить задачу с нестандартными условиями на границе можно добавить в функционал член, зависящий от значения функции на границе промежутка интегрирования. Например, функционал $S'[\Phi]=-\Phi(0)+S$ при стандартной процедуре $\left.\frac{\partial}{\partial\alpha}S'[\Phi+\alpha h]\right|_{\alpha=0}$ выдаст после интегрирования по частям внеинтегральный член $(\Phi'(0)-1)h(0),$ что и даст нужное граничное условие.

Возвращаясь к исходной задаче, вышеописанное означает, что надо писать функционал как$$-\Phi(0)+\int\limits_{0}^{\infty}dx\left(\left\Psi'^2(x)+\Psi^2(x)\Phi(x)-E\Psi^2(x)\right)+\frac{1}{2}\Phi'^2(x)\right),$$внеинтегральный член на нормированных пробных функциях $\int\limits_{0}^{\infty}\Psi^2(x)dx=1$ загоняется под интеграл, и получается$$\int\limits_{0}^{\infty}dx\left(\left\Psi'^2(x)+\Psi^2(x)\left(\Phi(x)-\Phi(0)\right)-E\Psi^2(x)\right)+\frac{1}{2}\Phi'^2(x)\right),$$т.е правильный ответ будет если положить потенциал в нуле нулем. Я это к тому, что изучение вариационного исчисления "по Ландау-Лифшицу" дает прекрасную возможность наступить даже на слабо замаскированные грабли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group