Видимо, пора писать ответ как я его понимаю. Есть у нас вариационная задачка

найти экстремаль

Если к действию ничего не дописывать, то возможны такие варианты: задача с фиксированными концами - зафиксированы значения функции на концах промежутка интегрирования. Для рассматриваемой задачи это условия

И задача со свободными концами, когда значения искомой функции на концах промежутка вообще не фиксированы. В последнем случае у уравнения Эйлера-Лагранже возникают так называемые естественные граничные условия, которые в рассматриваемой задаче - условие на потенциал в бесконечности -
Условие

не относится ни к одному из этих стандартных условий, и що з ним робити сходу не понятно. Именно благодаря ему возникает внеинтегральный член, зависящий от значения потенциала в нуле. Мне, в свое время, помог рецепт, подсмотренный в учебнике Смирнова Курс высшей математики т.4 часть 1 глава II, вариационное исчисление, параграф 84, "функционалы более общего типа". Там сказано, что для того, что бы получить задачу с нестандартными условиями на границе можно добавить в функционал член, зависящий от значения функции на границе промежутка интегрирования. Например, функционал
![$S'[\Phi]=-\Phi(0)+S$ $S'[\Phi]=-\Phi(0)+S$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/4/994710567d0a4f07d3bc890448c3d4bb82.png)
при стандартной процедуре
![$\left.\frac{\partial}{\partial\alpha}S'[\Phi+\alpha h]\right|_{\alpha=0}$ $\left.\frac{\partial}{\partial\alpha}S'[\Phi+\alpha h]\right|_{\alpha=0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/f/3dfd10177196b3a5d734caf6a44d559f82.png)
выдаст после интегрирования по частям внеинтегральный член

что и даст нужное граничное условие.
Возвращаясь к исходной задаче, вышеописанное означает, что надо писать функционал как

внеинтегральный член на нормированных пробных функциях

загоняется под интеграл, и получается

т.е правильный ответ будет если положить потенциал в нуле нулем. Я это к тому, что изучение вариационного исчисления "по Ландау-Лифшицу" дает прекрасную возможность наступить даже на слабо замаскированные грабли.