ЛЛ. т2. Ковариантное дифференцирование

[Утундрий]

kzv в сообщении #1495534 писал(а):

Что я делаю не так?

Вы задаёте два несвязанных вопроса один за другим. Возможно, вы этого не осознаёте.

[kzv]

Утундрий в сообщении #1495536 писал(а):

kzv в сообщении #1495534 писал(а):

Что я делаю не так?

Вы задаёте два несвязанных вопроса один за другим. Возможно, вы этого не осознаёте.

Первый вопрос про криволинейное пространство, второй про криволинейные координаты. Это два несвязанных понятия?

[Утундрий]

kzv в сообщении #1495537 писал(а):

Первый вопрос про криволинейное пространство, второй про криволинейные координаты. Это два несвязанных понятия?

В третий раз - да.

[kzv]

Утундрий в сообщении #1495538 писал(а):

kzv в сообщении #1495537 писал(а):

Первый вопрос про криволинейное пространство, второй про криволинейные координаты. Это два несвязанных понятия?

В третий раз - да.

В ЛЛ т.2 есть целый параграф о криволинейных координатах и есть (намного дальше) упоминание о криволинейном искривленном пространстве. Я не могу найти там определения криволинейного пространства поэтому и отождествляю эти два понятия.

[Утундрий]

Вероятно это просто потому, что реально вы потеряли нить рассуждения гораздо раньше и сейчас зря тратите своё и чужое время.

[kzv]

Утундрий в сообщении #1495540 писал(а):

Вероятно это просто потому, что реально вы потеряли нить рассуждения гораздо раньше и сейчас зря тратите своё и чужое время.

Вероятно вы правы. Но я никого не заставляю тратить свое время на мои вопросы. Если тут никто не ответит, поищу ответы в другом месте... Или останусь при своих заблуждениях как-то жить дальше.

[warlock66613]

kzv, в ЛЛ действительно очень мало говорится о сути всего этого. Кому-то этого может быть достаточно, а другим — нет. Вам, по-видимому, этого недостаточно. Так что лучший для вас выход — всё же прочитать о касательном пространстве, криволинейных координатах и всех подобных вещах где-то ещё.

[sergey zhukov]

kzv в сообщении #1495537 писал(а):

Первый вопрос про криволинейное пространство, второй про криволинейные координаты. Это два несвязанных понятия?

Например, на плоскости можно нарисовать прямоугольные координаты, а можно и криволинейные (например, полярные). А вот на искривленной поверхности (искривленное пространство) можно нарисовать только криволинейные координаты.

Т.е искривленное пространство и криволинейные координаты связаны в том смысле, что на искривленном пространстве могут быть введены только криволинейные координаты. А на плоском пространстве - любые.

Когда рассматриваются произвольные криволинейные координаты, в которых задан метрический тензор, зависящий от координат (по сути, многомерный аналог понятия "масштаб", переводящий координаты в метры), то мы имеем описание некоторого пространства с переменным масштабом в каждой точке. Но плоское это пространство или искривленное - это пока не очевидно. Вполне может быть, что и плоское, т.е. существуют координаты такие, в которых компоненты метрического тензора оказываются не зависящими от координат (т.е. масштаб координат всюду одинаков, пространство плоское). Это случай, когда мы нарисовали криволинейные координаты на плоскости. Все можно значительно упростить, заменив исходные координаты на прямоугольные.

А может быть и так, что таких координат нет. В любых координатах компоненты метрического тензора оказываются зависящими от координат. Это значит, что пространство искривлено: в любых координатах масштаб оказывается переменным. Ввести прямоугольные координаты оказывается невозможно.

Метрический тензор, зависящий от координат (а так же и символы Кристоффеля) - это следствие именно криволинейности координат. Они появляются автоматически в любых криволинейных координатах независимо от того, нарисованы эти координаты на плоскости или на искривленной поверхности. Но на плоскости от всего этого можно избавиться, сменив координаты на прямоугольные, а на искривленной поверхности от этого не избавиться именно потому, что там нельзя нарисовать прямоугольные координаты.

[Guvertod]

Ну короче просто был обьект $dA^i$, который при замене координат ведет себя не как $A^i$. А хотелось бы чтобы так же себя вел и его модифицируют - для коменсации вылезающих соплей добавляют эти вот к-ты, которые должны преобразовываться определенным образом. Это если по-деревенски, должно быть понятно . А так если вдруг есть желание или необходимость понять этотграматно, то Новикова-Тайманова почитайте.

[realeugene]

Guvertod в сообщении #1495556 писал(а):

для коменсации вылезающих соплей

Всё же не для компенсации соплей, а для устранения слишком сильной зависимости такого объекта от выбора координат. Так как предполагается, что пространственные координаты можно брать любые кривые, лишь бы достаточно гладкие. И что пространственные координаты существуют лишь в воображении наблюдателя. Координаты векторов, конечно, тоже зависят от выбора пространственных координат, но они зависят более понятным образом, таким, что вектора как геометрические объекты можно считать независящими от выбора координат.

[sergey zhukov]

kzv в сообщении #1495524 писал(а):

Да, в дифференциальной геометрии я не силен, поэтому сильно общие абстрактные вещи не понимаю.

Представим себе векторное поле, производная по которому в любом направлении равна нулю. Т.е. вектор во всех точках пространства один и тот же. Например, однородное магнитное поле.

Если на это поле наложить декартовые координаты, то компоненты вектора такого поля постоянны и не зависят от координат. Производные этих компонент по любому направлению равны нулю.
А если на это поле наложить криволинейные координаты (например, полярные), то компоненты вектора окажутся зависимыми от координат (это следствие сложности координат, а не сложности векторного поля). Производные компонент вектора по разным направлениям не будут нулевыми. Но это отражает всего-лишь производную координатного базиса полярной системы координат по разным направлениям, а не производную нашего вектора. Производная вектора по прежнему нулевая.
В декартовой системе координат производная ее базиса по разным направлениям нулевая. А в любой криволинейной системе координат она не нулевая. Т.е. при переходе от данной точки к соседней в криволинейных координатах в общем случае одновременно меняется и вектор, и базис.

Производная базиса координатной системы нам не нужна, т.к. это свойство произвольно выбранной системы координат, т.е. это произвольная величина. Ее нужно вычесть из общего результата. Тогда мы получим только производную вектора без производной базиса.

[kzv]

sergey zhukov Спасибо, очень наглядно объясняете.
Тема я так понимаю большая и разносторонняя, мне сейчас важно понять: правильно ли я решил придуманную мной задачу?
То есть понятие ковариантного/контрвариантного вектора применимо к криволинейным координатам в обычном плоском пространстве или нет? Можно ли пользоваться формулами из ЛЛ для переходов между системами координат?
Нужна наглядная задача с решением, чтобы понятно было тем кто кроме полярных/цилиндрических/сферических координат ни с чем криволинейным никогда не встречался.

[warlock66613]

kzv, вам надо разобраться с отличием вектора и векторного поля. Очень часто — особенно в физике, особенно в ОТО, векторное поле назвается просто "вектором", но это просто сокращение, и это не одно и то же. В декартовых координатах в плоском пространстве постоянное векторное поле и вектор по сути не отличаются, иначе говоря все вектора свободные и могут быть перенесены в любую точку без проблем. А уже в криволинейных координатах это выглядит сложнее, а тем более в случае пространства с кривизной. И вы удивились результату именно потому, что вы вроде бы взяли в декартовых координатах вектор, а после преобразования получили не вектор, а векторное поле — то есть функцию, которая каждой точке $(r, \varphi)$ сопоставляет вектор и координаты этого вектора в разных точках разные.

[realeugene]

А что такое $\vec i$, $\vec j$?

[kzv]

warlock66613 в сообщении #1495617 писал(а):

вы вроде бы взяли в декартовых координатах вектор, а после преобразования получили не вектор, а векторное поле — то есть функцию, которая каждой точке $(r, \varphi)$ сопоставляет вектор и координаты этого вектора в разных точках разные.

Ну то есть с условием задачи что-то не так? Нужно преобразования делать не над вектором, а над векторным полем?
Все равно что-то не сходится у меня.

Задача: есть векторное поле в плоской двумерной декартовой системе координат, заданное ковариантным вектором $A_i=\vec{A}=(2x,3y)$, найти соответствующее ему векторное поле в плоской полярной системе координат заданное ковариантным вектором $A'_k$ .

Решение: Пользуемся формулами из ЛЛ т.2:

$A'_k=A_i \frac{\partial x^i}{\partial x'^k}$

Подставляем в эту формулу следующие значения:
$A_i=(A_1,A_2)=(2x,3y)$

$x^i=(x^1,x^2)=(-x,-y)=(-r\cos\varphi,-r\sin\varphi)$

$x'^k=(x'^1,x'^2)=(-r,-\varphi)$

Получаем:

$A'_1=A_1 \frac{\partial x^1}{\partial x'^1}+A_2 \frac{\partial x^2}{\partial x'^1}=2x \frac{\partial (r\cos\varphi)}{\partial r}+3y \frac{\partial r\sin\varphi}{\partial r}=2x\cos\varphi+3y\sin\varphi=2r\cos^2\varphi+3r\sin^2\varphi$

$A'_2=A_1 \frac{\partial x^1}{\partial x'^2}+A_2 \frac{\partial x^2}{\partial x'^2}=2x \frac{\partial (r\cos\varphi)}{\partial \varphi}+3y \frac{\partial r\sin\varphi}{\partial \varphi}=-2xr\sin\varphi+3yr\cos\varphi=-2r^2\sin\varphi\cos\varphi+3r^2\sin\varphi\cos\varphi=\frac{1}{2}r^2\sin2\varphi$

Получаем компоненты искомого векторного поля.
Дальше я не понимаю: а в каком базисе это поле получено? Если в декартовом, тогда ответ такой:
$A'_k=\vec{A'}=(2r\cos^2\varphi+3r\sin^2\varphi)\vec{i}+(\frac{1}{2}r^2\sin2\varphi)\vec{j}$

Но как-то странно иметь ответ в декартовом базисе если мы переходим в полярные координаты?
Как получить ответ в базисе полярных координат? Должно же быть что-то такое:
$A'_k=\vec{A'}=f_1(r, \varphi)\vec{e_1}+f_2(r, \varphi)\vec{e_2}$

?

А если ответ в "правильном" полярном базисе, то разве квадрат вектора не должен быть скаляром который не зависит от системы координат?

$(\vec{A'},\vec{A'})=(\vec{A},\vec{A})$

По моему тут равенство не получится?