С точки зрения, принятой в этой книге, геометрический объект
в некоторой точке
пространства-времени (вектор, тензор и т. д.) -- это правило, относящее каждой системе координат
около
набор чисел
(компонент
) таким образом, что если
и
разные такие системы координат и известны компоненты
относительно координат
, то компоненты
отностельно координат
однозначно определяются как некоторые функции, зависящие только от значений в
компонент
и частных производных функций перехода
, выражающих координаты
через координаты
(в том смысле что для любой близкой точки пространства её координаты
):
.
Какой именно это объект -- зависит от того, сколько у него компонент и какая функция
: например, если
ковектор, то компонент у него столько же, сколько размерность пространства-времени, а
; если это вектор, то компонент столько же, но
, где
-- матрица, обратная к
, и так далее.
Если
-- векторное поле, то есть каждой системе координат сопоставлены компоненты
, преобразующиеся по векторному закону, то можно образовать другой объект
. Вам предлагают убедиться, что этот объект уже не является тензором (его компоненты в новых координатах нетривиально зависят от ВТОРЫХ производных функций перехода, чего для тензоров не бывает), и, соответственно, его свёртка с ненулевым вектором
не является вектором.
И в этом месте у меня вопрос: почему в правой части
стоит без штриха?
Потому что они определяют символы Кристоффеля в какой-то одной (но совершенно произвольной) системе координат. После того, как мы их определим в произвольной системе координат, можно будет посчитать, как они меняются при замене координат (соответственно, какой объект они собой представляют -- не тензор, а более сложный объект: в формулах преобразования при замене координат будут вторые производные функций перехода).
Кстаи, по-моему, определение символов Кристоффеля там написано не очень удачно.