С точки зрения, принятой в этой книге, геометрический объект

в некоторой точке

пространства-времени (вектор, тензор и т. д.) -- это правило, относящее каждой системе координат

около

набор чисел

(компонент

) таким образом, что если

и

разные такие системы координат и известны компоненты

относительно координат

, то компоненты

отностельно координат

однозначно определяются как некоторые функции, зависящие только от значений в

компонент

и частных производных функций перехода

, выражающих координаты

через координаты

(в том смысле что для любой близкой точки пространства её координаты

):

.
Какой именно это объект -- зависит от того, сколько у него компонент и какая функция

: например, если

ковектор, то компонент у него столько же, сколько размерность пространства-времени, а

; если это вектор, то компонент столько же, но

, где

-- матрица, обратная к

, и так далее.
Если

-- векторное поле, то есть каждой системе координат сопоставлены компоненты

, преобразующиеся по векторному закону, то можно образовать другой объект

. Вам предлагают убедиться, что этот объект уже не является тензором (его компоненты в новых координатах нетривиально зависят от ВТОРЫХ производных функций перехода, чего для тензоров не бывает), и, соответственно, его свёртка с ненулевым вектором

не является вектором.
И в этом месте у меня вопрос: почему в правой части

стоит без штриха?
Потому что они определяют символы Кристоффеля в какой-то одной (но совершенно произвольной) системе координат. После того, как мы их определим в произвольной системе координат, можно будет посчитать, как они меняются при замене координат (соответственно, какой объект они собой представляют -- не тензор, а более сложный объект: в формулах преобразования при замене координат будут вторые производные функций перехода).
Кстаи, по-моему, определение символов Кристоффеля там написано не очень удачно.