Помогите, пожалуйста, решить задачу. Формула Маклорена

[Lia]

Ну да. Но хорошо бы понимать, почему оно выполнено.

Ладно, это на Вашей совести, понимайте.

Вернемся к баранам.

Нужно разложить до третьей степени всю функцию. То есть сподобиться написать все степени до третьей и ниже в разложении, ну и плюс остаточный член о малое от третьей

Что для этого нужно? Поскольку мы домножаем на икс, то у экспоненты достаточно собирать все степени до второй плюс остаточный член о малое от второй.

Есть вопросы?

-- 04.12.2020, 15:58 --

ruslan_brovkin в сообщении #1495254 писал(а):

т.е. $xe^{3x} = x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+o(x^3)=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+\frac{27x^4}{6}+o(x^3)$,

Этот способ дает в точности то же самое. Потому что четвертая степень сама является о малым от икс в третьей и ее можно не писать, включив в остаточный член.
Это понятно?

-- 04.12.2020, 16:00 --

Ваша проблема заключается в том, что Вы формально следите за буковками, какая чему равна, а надо следить за сутью происходящего. Она значительно проще.

-- 04.12.2020, 16:05 --

И не надо постить картинки с формулами или ссылаться на них. Вы же видите, что все равно всё потом приходится набирать. Набирайте сразу. Это правило.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495263 писал(а):

Нужно разложить до третьей степени всю функцию. То есть сподобиться написать все степени до третьей и ниже в разложении, ну и плюс остаточный член о малое от третьей

Что для этого нужно? Поскольку мы домножаем на икс, то у экспоненты достаточно собирать все степени до второй плюс остаточный член о малое от второй.

Кажется, я теперь понял. Но тогда разрешите вернуться к прошлой проблеме, чтобы уже всё стало на свои места:

Lia в сообщении #1495183 писал(а):

ruslan_brovkin в сообщении #1495180 писал(а):

Скажите, пожалуйста, по какой причине в данном примере
в первой строке решения $xe^{3x}$ стало $x\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{3^k}{k!}x^{k} + o(x^{n-1})\right)$, а не $x\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k}{k!}x^{k} + o(x^{n})\right)$ (как второе слагаемое, которое без множителя x)?

Это без разницы. Можете написать первым способом. Потом выбросить лишнее, - просили-то разложить до $o(x^n)$. Можете писать вторым, так чтобы лишнего не написать, но написать все необходимые слагаемые. Если сомневаетесь - лучше сперва брать с избытком.

Я сейчас попробовал умножить $x\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k}{k!}x^{k} + o(x^{n})\right)$, получилось $\sum_{k=0}^{n+1}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^{n+1})$. Под "выбросить лишнее" вы имели в виду, что выбросить нужно $+1$ в $o(x^{n+1})$ (если нужно представить до $o(x^n)$)? Тогда получится $\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^{n})$? То есть в решении из методички, которую я показывал, верхнюю границу суммы и степень $x$ в о-малом уменьшили для удобства в понимании?

Lia в сообщении #1495263 писал(а):

Потому что четвертая степень сама является о малым от икс в третьей и ее можно не писать, включив в остаточный член.

Не могли бы вы, пожалуйста, объяснить этот момент? Я его многократно наблюдал в решениях, но объяснения никакого не было. Я так понимаю это свойство $x^{n+1}=o(x^n)$? То есть, я представляю $\frac{27x^4}{6}$ как $\frac{27}{6}o(x^3)$, потом по свойствам $c \cdot o(x)=o(x)$ и $o(f)+o(f)=o(f)$ просто убираю его?

[Lia]

ruslan_brovkin в сообщении #1495272 писал(а):

$\sum_{k=0}^{n+1}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^{n+1})$

Вы же считали это. Для $n=3$. Сколько это будет? Где там единица? Что уходит и куда? Смотрите все выше, пример разобран полностью в частном случае.
Но начните с этого:

ruslan_brovkin в сообщении #1495272 писал(а):

Не могли бы вы, пожалуйста, объяснить этот момент? Я его многократно наблюдал в решениях, но объяснения никакого не было. Я так понимаю это свойство $x^{n+1}=o(x^n)$?

И с определения о малого.

-- 04.12.2020, 16:51 --

(Лирическое отступление про единицы и т.п.)
Пока Вы неуверенно себя чувствуете с разложениями до произвольной степени, раскладывайте до какой-то малой и пишите обычные плюсы-минусы, не сворачивая сумму в краткую запись.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495275 писал(а):

$\sum_{k=0}^{n+1}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^{n+1})$

$\sum_{k=0}^{3+1}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^{3+1})=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+\frac{27x^4}{6}+\frac{81x^5}{24}+o(x^4)$
Потом убираю $\frac{81x^5}{24}$ по свойствам $c \cdot o(x)=o(x)$ и $o(f)+o(f)=o(f)$, и если нужно до $x^3$ я просто убираю последнее слагаемое ($\frac{27x^4}{6}$)?

Lia в сообщении #1495275 писал(а):

И с определения о малого.

Скажите, пожалуйста, что конкретно мне нужно изучить по данной теме? Из определения в учебнике Зорича помню, что о-малое используется для сравнения функций, например $x^2 = o(x)$ при $x \rightarrow 0$ и $x=o(x^2)$ при $x \rightarrow \infty$, а также некоторые формулы из справочников.

[ruslan_brovkin]

Lia, вы сказали, что если меняется степень $n$ в $o(x^n)$, то также меняется показатель верхней границей суммы, но, скажите, пожалуйста, что происходит здесь?
$x^2\left ( x + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2k-1)!!}{2^k \cdot k!(2k+1)}x^{2k+1}+o(x^{2n}) \right ) = \\= x^3+\sum_{k=1}^{n-2}\frac{(2k-1)!!}{2^k \cdot k!(2k+1)}x^{2k+3}+o(x^{2n}), x \rightarrow 0$

Почему $\sum_{k=1}^{n-1}$ стало $\sum_{k=1}^{n-2}$? Это из решения в методичке.

[Lia]

ruslan_brovkin
Вы на каком факультете учитесь на заочке? Специальность/направление?

-- 04.12.2020, 23:54 --

ruslan_brovkin в сообщении #1495301 писал(а):

Почему $\sum_{k=1}^{n-1}$ стало $\sum_{k=1}^{n-2}$? Это из решения в методичке.

Потому что в задании (которое надо бы привести, но Вы не привели) было "разложить до степени $x^{2n}$. Сперва прихватили лишних степеней. Потом их выбросили.

Разберитесь сперва с примером с экспонентой до конца. Меня Ваше

ruslan_brovkin в сообщении #1495285 писал(а):

Потом убираю $\frac{81x^5}{24}$ по свойствам $c \cdot o(x)=o(x)$ и $o(f)+o(f)=o(f)$,

не убеждает, хотя формально это верно. Точно то же и с четвертой степенью. А знаете, почему не убеждает? Потому что вопрос об определении о малого вызывает трудности. Где хотите. В Зориче тоже хорошее определение.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495342 писал(а):

Вы на каком факультете учитесь на заочке? Специальность/направление?

Программная инженерия, 1 курс

Lia в сообщении #1495342 писал(а):

Разберитесь сперва с примером с экспонентой до конца.

Я повторил теорию по этой теме, попробую тогда переформулировать: $\frac{81x^5}{24}$ убираю, так как это слагаемое есть о-малое от $x^4$, потому что имеет более высшую степень. Надеюсь, что уже лучше получается... Буду рад, если это так

Lia в сообщении #1495342 писал(а):

(которое надо бы привести, но Вы не привели)

Прошу прощения, я тогда перепишу его в спойлер

(Оффтоп)

Представить формулой Маклорена функцию $f(x)=x^2\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ до $o(x^{2n})$.

$g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^kk!}x^{2k}+o(x^{2n}), x \rightarrow 0.$

Учитывая, что $f(0)=\ln{1}=0$, получаем
$\ln(x+\sqrt{1+x^2})=x+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2k-1)!!}{2^kk!(2k+1)}x^{2k+1}+o(x^{2n}), x \rightarrow 0.$

Тогда
$f(x)=x^2\ln(x+\sqrt{1+x^2})=\\ =x^2\left ( x + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2k-1)!!}{2^k \cdot k!(2k+1)}x^{2k+1}+o(x^{2n}) \right ) = \\= x^3+\sum_{k=1}^{n-2}\frac{(2k-1)!!}{2^k \cdot k!(2k+1)}x^{2k+3}+o(x^{2n}), x \rightarrow 0$

Lia в сообщении #1495342 писал(а):

Сперва прихватили лишних степеней. Потом их выбросили.

Не могли бы вы, пожалуйста, объяснить, как проходит эта процедура? Что конкретно нужно выбрасывать? Я когда умножал в тетради, у меня получилось
$x^2\left ( x + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2k-1)!!}{2^k \cdot k!(2k+1)}x^{2k+1}+o(x^{2n}) \right ) =\\= x^3 + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2k-1)!!}{2^kk!(2k+1)}x^{2k+3}+o(x^{2n+2})$.
Но что мне теперь делать с $o(x^{2n+2})$, чтобы получить $o(x^{2n})$ вместе со значением $n-2$ в показателе верхней границе суммы вместо $n-1$ (как в решении под спойлером)? Из-за этого момента я как раз и не могу решить основную задачу из первого сообщения.
Возможно, я спрашиваю вас очевидные вещи, и многое сказанное вами уже определяет суть и алгоритм решения подобных задач, но, как бы не напрягался, ни сути ни алгоритма не могу понять до конца, хотя до сих пор изучаю данную тему посредством различных руководств и книг, возможно не до конца понимаю в связи с отсутствием комментариев к решениям... Безмерно благодарен вам, что до сего момента выручаете меня и помогаете мне понять данную тему, очень ценю вашу помощь

[Lia]

ruslan_brovkin в сообщении #1495359 писал(а):

так как это слагаемое есть о-малое от $x^4$, потому что имеет более высшую степень. Надеюсь, что уже лучше получается...

Уже лучше. Но будет совсем хорошо, если Вы поймете, почему более высшая степень действительно будет о малым.
И просили разложить до третьей степени, так? Вот давайте и сделаем до третьей. Я говорю о примере с экспонентой. Разберитесь с ним до конца.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495363 писал(а):

Но будет совсем хорошо, если Вы поймете, почему более высшая степень действительно будет о малым.

Я, кажется, наконец разобрался, более того, я, кажется, понял, почему важно указывать, куда стремится $x$. Я тогда попробую ещё раз переформулировать причину, почему здесь

ruslan_brovkin в сообщении #1495285 писал(а):

$\sum_{k=0}^{3+1}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^{3+1})=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+\frac{27x^4}{6}+\frac{81x^5}{24}+o(x^4)$
Потом убираю $\frac{81x^5}{24}$ по свойствам $c \cdot o(x)=o(x)$ и $o(f)+o(f)=o(f)$, и если нужно до $x^3$ я просто убираю последнее слагаемое ($\frac{27x^4}{6}$)?

можно убрать $\frac{81x^5}{24}$: так как $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{81x^5}{24}}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{81x^5}{24x^4}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{81}{24}x=0$, то $\frac{81x^5}{24}$ более высокого порядка малости, чем $x^4$, поэтому $\frac{81x^5}{24}=o(x^4)$ при $x \rightarrow 0$

Lia в сообщении #1495363 писал(а):

Разберитесь с ним до конца.

Попробовал решить его сейчас двумя способами - первый по формуле (т.е. $e^x = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$) и второй по методу из методички ($xe^{3x} = x\left (\sum_{k=0}^{n-1}\frac{3^k}{k!}x^k+o(x^{n-1}) \right )$):

1) $xe^{3x}=x\left ( \sum_{k=0}^{3}\frac{3^k}{k!}x^k+o(x^3) \right )=x(1+3x+\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{6}+o(x^3))=$
$=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+\frac{27x^4}{6}+o(x^4)$

$o(x^4)$ получил по свойству $x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$, но если нужно до $o(x^3)$, то я просто убираю лишнее слагаемое?

2) $xe^{3x}=x\left ( \sum_{k=0}^{3-1}\frac{3^k}{k!}x^k+o(x^{2}) \right )=x(1+3x+\frac{9x^2}{2}+o(x^2))=$
$=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+o(x^3)$, т.е. $-1$ пишется в показателе верхней границы суммы, чтобы не писать лишних слагаемых?

Благодарю вас.

[Lia]

ruslan_brovkin в сообщении #1495397 писал(а):

можно убрать $\frac{81x^5}{24}$: так как $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{81x^5}{24}}{x^4}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{81x^5}{24x^4}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{81}{24}x=0$, то $\frac{81x^5}{24}$ более высокого порядка малости, чем $x^4$, поэтому $\frac{81x^5}{24}=o(x^4)$ при $x \rightarrow 0$

Да, вот это важно.

ruslan_brovkin в сообщении #1495397 писал(а):

т.е. $-1$ пишется в показателе верхней границы суммы, чтобы не писать лишних слагаемых?

Пишется столько, сколько нужно, не обязательно -1, чтобы последняя степень была "не лишней". Например, в примере с экспонентой в разложении до 3-й степени лишние степени все, начиная с четвертой. Они пойдут в остаточный член. Ну и т.д.
Полезно иногда возвращаться. Например, вполне сносно я про "сколько брать" писала в первом посте на этой странице. Перечитайте еще раз.

[bot]

ruslan_brovkin
Вы уже расписывали сумму для конкретного $n=3$. Конкретика не помогла. Может, так лучше дойдёт?
Для произвольного $n$ избавьтесь от знака суммирования при помощи трёх точек: $\sum\limits_{k=1}^na_k=a_1+a_2+\ldots+a_n$.
Затем умножьте её на $x$ и запишите полученное, используя знак суммирования.

Upd. Кстати об $o$-малых. Эквивалентное определение: $o(f)$ - это $\alpha\cdot f$, где $\alpha$ бесконечно малая.

[ruslan_brovkin]

bot в сообщении #1495478 писал(а):

Затем умножьте её на $x$ и запишите полученное, используя знак суммирования.

Да, я решил уже так делать, более понятнее получается в итоге

Я сейчас попробовал перерешать задачу из первого сообщения, скажите, пожалуйста, правильное ли теперь решение получается?

Представить формулой Маклорена с $o(x^{2n})$ функцию $\sin{x}\cos{2x}$:

1) Преобразовываю выражение $\sin{x}\cos{2x}$:
$f(x)=\sin x\cos 2x=\frac{1}{2}(\sin 3x-\sin x)=\\$

2) Представляю синусы через формулу Маклорена для синусов $\sin x = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})$:

$=\frac{1}{2}\left ( \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}-\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^{2n+2}) \right )=$
$=\frac{1}{2}\left ( \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(3^{2k+1}-1)x^{2k+1}+o(x^{2n+2}) \right )=$
$= \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2(2k+1)!}(3^{2k+1}-1)x^{2k+1}+o(x^{2n+2})=$

3) Для проверки подставляю, например, $n=2$:
$= \sum_{k=0}^{2}\frac{(-1)^k}{2(2k+1)!}(3^{2k+1}-1)x^{2k+1}+o(x^{4+2})=$
$=x-\frac{13x^3}{6}+\frac{121x^5}{120}+o(x^{4+2})$

Если мне нужно для $o(x^{2n})$ (в этом примере если $n=2$ получается мне нужно $o(x^4)$), то, чтобы не было лишних слагаемых, уменьшаю $n$ на единицу ($n=2-1$):
$= \sum_{k=0}^{2-1}\frac{(-1)^k}{2(2k+1)!}(3^{2k+1}-1)x^{2k+1}+o(x^{4})=$
$=x-\frac{13x^3}{6}+o(x^4)$

Получается, что нужная формула
$= \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2(2k+1)!}(3^{2k+1}-1)x^{2k+1}+o(x^{2n})$?

Спасибо вам большое. Ваша помощь бесценна.

[bot]

ruslan_brovkin в сообщении #1495490 писал(а):

формулу Маклорена для синусов $\sin x = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})$

Остаток ведь требуют в виде $o(x^{2n})$? Замените верхний индекс $n$ на $n-1$ в суммировании и Вам не придётся в конце выбрасывать лишнее. А так, всё верно.

Или нижний - на $k=1$, а в общем члене $k$ на $k-1$.

[ruslan_brovkin]

bot в сообщении #1495513 писал(а):

Замените верхний индекс $n$ на $n-1$

То есть получится так?
$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2(n-1)+2})=$
$=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n-2+2})=$
$=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n})$
Я почему-то сразу не понял этой взаимосвязи... Спасибо, что прояснили. Я действительно сейчас через эту формулу получил тот же результат, что в предыдущем сообщении. Вообще в целом тема понятнее стала, начал понимать определения и примеры в учебниках, получилось решить другие примеры, но это только благодаря вашей помощи. Безмерно благодарен вам за то, что помогли решить мне данное задание. Особенно благодарен Lia за помощь в полноценном понимании этой темы.