Помогите, пожалуйста, решить задачу. Формула Маклорена

[ruslan_brovkin]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, в решении данной задачи. Представить формулой Маклорена с $o(x^{2n})$ функцию $\sin{x}\cos{2x}$.
Если можете, помогите, пожалуйста, хотя бы проверив моё решение данной задачи.
Вот мой результат:
$\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{3^{2k+1}-1}{2(2k+1)!}\cdot x^{2k+1}+o(x^{2n})$

Большое вам спасибо

[Lia]

ruslan_brovkin
Ваше решение не смогут проверить, потому что ответ - это не решение.
Если хотите проверки решения, приведите его, хотя бы схематично.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495129 писал(а):

ruslan_brovkin
Ваше решение не смогут проверить, потому что ответ - это не решение.
Если хотите проверки решения, приведите его, хотя бы схематично.

Я не уверен, что этот ответ правильный. Прикрепил его чисто на всякий случай... Если это принципиально, я могу его удалить
Для оценки данной задачи принципиально относительно подробное решение данного задания и ответ, кто разбирается, прошу, пожалуйста, помочь мне решить данную задачу или сказать, правильно ли я решил её...

Насколько я понял, нужно решать её так: сократить $\sin{x}\cos{2x} = \cdot \cdot \cdot = \frac{1}{2}(\sin{3x}-\sin{x})$ через тригонометрические формулы, потом воспользоваться формулой Маклорена для синуса $\sin{x}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})$ и применить её к каждому синусу. Но в руководстве, которым я пользовался, в некоторых примерах я наблюдал момент, где на некоторых этапах решения задачи постоянно менялось значение над знаком суммы с n на n-1 или n-2 (например, здесь), может это происходит потому, что в формуле написано $o^{2n+2}$ а в условии $o^{2n}$? Может ли кто-нибудь объяснить по какому свойству это происходит? Я очень запутался, кто знает подскажите, пожалуйста, как решать подобный пример? В руководствах подобного вида задачи не нашёл...

[ewert]

ruslan_brovkin в сообщении #1495137 писал(а):

может это происходит потому, что в формуле написано $o^{2n+2}$ а в условии $o^{2n}$?

Может, и так.

ruslan_brovkin в сообщении #1495137 писал(а):

Может ли кто-нибудь объяснить по какому свойству это происходит?

Ни по какому не по свойству. Надо просто понимать, что верхний предел суммирования -- это внешний параметр формулы, и при необходимость его можно заменять на что угодно. Соответствующим образом изменяя при этом, конечно, и все остальные вхождения в формулу этого параметра. Вот этим и займитесь.

А идея у Вас правильная.

[ruslan_brovkin]

Спасибо, что решили помочь мне, ewert.
Из ваших наводок я сообразил некоторые моменты, но вернувшись к руководствам, ещё больше запутался в этом параметре n. Скажите, пожалуйста, по какой причине в данном примере в первой строке решения $xe^{3x}$ стало $x\left (\sum_{k=0}^{n-1}\frac{3k}{k!}x^{k} + o(x^{n-1})\right)$, а не $x\left (\sum_{k=0}^{n}\frac{3k}{k!}x^{k} + o(x^{n})\right)$ (как второе слагаемое, которое без множителя x)? Буду безмерно благодарен вам, если поможете мне разобраться. Учусь на заочном отделении, соответственно всё приходится учить самостоятельно. Спасибо

[Lia]

ruslan_brovkin в сообщении #1495180 писал(а):

Скажите, пожалуйста, по какой причине в данном примере
в первой строке решения $xe^{3x}$ стало $x\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{3k}{k!}x^{k} + o(x^{n-1})\right)$, а не $x\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{3k}{k!}x^{k} + o(x^{n})\right)$ (как второе слагаемое, которое без множителя x)?

Это без разницы. Можете написать первым способом. Потом выбросить лишнее, - просили-то разложить до $o(x^n)$. Можете писать вторым, так чтобы лишнего не написать, но написать все необходимые слагаемые. Если сомневаетесь - лучше сперва брать с избытком.

Если и так непонятно: какие слагаемые лишние в первой сумме по сравнению со второй?

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495183 писал(а):

Если и так непонятно: какие слагаемые лишние в первой сумме по сравнению со второй?

Если я правильно понял вопрос: $x^{-1}$?

Я понял как работает умножение $\sum_{k=0}^{n}\frac{3k}{k!}x^{k} + o(x^{n}) $ на $x$, сразу понятно откуда получится $\sum_{k=0}^{n}\frac{3k}{k!}x^{k+1}$, но вот запись n-1 всё никак не могу понять... Не могли бы вы, пожалуйста, объяснить, как она работает? Благодарю

[Lia]

Ясно. Тогда так. Напишите полностью первое выражение для $n=3$. Не используя никаких знаков суммирования, кроме обычных плюсов и минусов.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495192 писал(а):

Ясно. Тогда так. Напишите полностью первое выражение для $n=3$. Не используя никаких знаков суммирования, кроме обычных плюсов и минусов.

Для выражения с n-1? $\sum_{k=0}^{3-1}\frac{3^k}{k!}x^k+o(x^3)=1+3x+\frac{9x^2}{2}+o(x^{3-1})$

Если имелось в виду другое то вот $\sum_{k=0}^{3}\frac{3^{k}}{k!}x^{k+1}+o(x^3)=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+\frac{27x^4}{6}+o(x^{3})$

[Lia]

ruslan_brovkin
Только левую часть писать надо. Что именно, какую функцию Вы раскладываете. И не забывать указывать, в окрестности какой точки (то есть куда стремится независимая переменная).
А из трех единицу почему не вычли? забоялись? :)
Ну и напишите разложение всей функции.
Я бы процитировала, но у вас опечатка в наборе. В общем, раскладываем $xe^{3x}$ до третьей степени, как и просили.

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495234 писал(а):

И не забывать указывать, в окрестности какой точки (то есть куда стремится независимая переменная).

Я заметил, что в некоторых руководствах действительно указывают куда стремится независимая переменная, но в методичке моего ВУЗа и учебниках об этом ничего. Очень ли важно указывать этот момент?

Lia в сообщении #1495234 писал(а):

Ну и напишите разложение всей функции.

$xe^{3x}=x\left ( \sum_{k=0}^{2}\frac{3^kx^k}{k!}+o(x^2) \right )=x\left ( 1+3x+\frac{9x^2}{2}+o(x^2) \right )=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+o(x^2)$

Напомните, пожалуйста, для чего я раскладываю их сейчас? Немного запутался. Спасибо, что помогаете разобраться

[Lia]

ruslan_brovkin в сообщении #1495245 писал(а):

Напомните, пожалуйста, для чего я раскладываю их сейчас?

Пригодится потом. А пока Вы тренируетесь.
Ну примерно как учить буквы, для того чтобы уметь читать.
Вот, разложение нормальное. Почти. Только $x\cdot o(x^2)$ лучше записать точнее. В виде $o(x^3)$. Понятно, почему так? (Тут нужны определения о малого и куда стремится икс как раз).

-- 04.12.2020, 15:22 --

ruslan_brovkin в сообщении #1495245 писал(а):

Очень ли важно указывать этот момент?

Да, принципиально важно.

-- 04.12.2020, 15:26 --

ruslan_brovkin в сообщении #1495245 писал(а):

Немного запутался.

Вы спросили, чем один способ, предложенный в методичке, отличается от способа, который Вы придумали сами:

ruslan_brovkin в сообщении #1495180 писал(а):

Скажите, пожалуйста, по какой причине в данном примере
в первой строке решения $xe^{3x}$ стало $x\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{3^k}{k!}x^{k} + o(x^{n-1})\right)$, а не $x\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k}{k!}x^{k} + o(x^{n})\right)$ (как второе слагаемое, которое без множителя x)?

Я и говорю: ничем, но надо это понять.

Давайте посчитаем и так, и эдак, сравним, и поищем отличия.

[ruslan_brovkin]

Я сейчас опять повозился с этим примером, поделал вычисления в тетради и всё равно не могу понять, на каком основании появляется эта n-1 над знаком суммы... Если конкретнее, то допустим действительно нужно разложить до $o(x^3)$ выражение $xe^{3x}$, если следовать логике решения в этой методичке, то в данном примере $xe^{3x} = x\left (\sum_{k=0}^{2}\frac{3^k}{k!}x^k+o(x^2)\right )=\sum_{k=0}^{3}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^3)$,
т.е. $xe^{3x} = x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+o(x^3)=x+3x^2+\frac{9x^3}{2}+\frac{27x^4}{6}+o(x^3)$,
но это же ведь не так... Либо я неправильно что-то считаю (скорее всего), не могли бы вы поправить меня, пожалуйста? Спасибо

-- 04.12.2020, 13:37 --

Хотя, на самом деле, я действительно не прав, ведь нужно разложить до $x^3$, но тогда получается, что при умножении $x$ на сумму повышается этот индекс n? Но тогда почему его нужно уменьшать на единицу? Я этим опять-таки интересуюсь потому, что в основном примере мне нужно будет $o(x^{2n+2})$ преобразовать в $o(x^{2n})$

-- 04.12.2020, 13:42 --

ruslan_brovkin в сообщении #1495254 писал(а):

$xe^{3x} = x\left (\sum_{k=0}^{2}\frac{3^k}{k!}x^k+o(x^2)\right )=\sum_{k=0}^{3}\frac{3^k}{k!}x^{k+1}+o(x^3)$,

Хотя если следовать данному преобразованию, получается, что при увеличении $n$ на единицу соответственно увеличивается $k$ на единицу?

[Lia]

Lia в сообщении #1495250 писал(а):

Только $x\cdot o(x^2)$ лучше записать точнее. В виде $o(x^3)$. Понятно, почему так? (Тут нужны определения о малого и куда стремится икс как раз).

Вы это переварили?

[ruslan_brovkin]

Lia в сообщении #1495258 писал(а):

Вы это переварили?

Свойство $$x^m\cdot o(x^n) = o(x^{m+n})?

-- 04.12.2020, 13:52 --

Т.е. вместе со степенью $x$ в о-малом меняется и верхняя граница суммирования?