ЛЛ. т2. Ковариантное дифференцирование

[kzv]

Здравствуйте.

Продолжаю разбираться с Теорией поля Ландау-Лифшица. Дошел до параграфа 85. Даже не знаю, уместно ли задавать вопрос здесь или лучше в математический раздел? Задам здесь, если что, надеюсь модераторы не сильно будут ругать...

Первая формула в параграфе без номера, там дается дифференциал от 4-вектора координаты которого криволинейные

$dA_i=\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}dA'^k+A'^k\frac{\partial^2 x'^k}{\partial x^i \partial x^l}dx^l$

Дальше много слов из которых я понял (возможно неправильно понял), что первое слагаемое в правой части формулы - это "обычный" дифференциал в галилеевых координатах, второе слагаемое - добавка которая не равна нулю в криволинейных координатах. Левую часть формулы обозначают большой буквой D и называют ковариантным дифференциалом.

Если я все правильно понял, то просто путем переобозначений из верхней формулы получается следующее:

$DA_i=dA_i-\delta A^i$

где

$dA_i=\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}dA'^k$
$-\delta A^i=A'^k\frac{\partial^2 x'^k}{\partial x^i \partial x^l}dx^l$

Вроде бы все логично, но дальше следует определение символов Кристоффеля:

$\delta A^i=-\Gamma^i_{kl} A^k dx^l$

И в этом месте у меня вопрос: почему в правой части $A^k$ стоит без штриха? На мой взгляд правильная формула такая:

$\delta A^i=-\Gamma^i_{kl} A'^k dx^l$

[warlock66613]

Не делается там никаких переобозначений. $dA_i$ — это обычный дифференциал во всех формулах.

-- 30.11.2020, 11:47 --

И попытайтесь разобраться, что всё-таки значит штрих. Возможно, с этим может помочь перечитывание параграфа 83 "Криволинейные координаты".

[Slav-27]

С точки зрения, принятой в этой книге, геометрический объект $v(x_0)$ в некоторой точке $x_0$ пространства-времени (вектор, тензор и т. д.) -- это правило, относящее каждой системе координат $(x^1,...,x^n)$ около $x_0$ набор чисел $v^a(x_0)$ (компонент $v$) таким образом, что если $x$ и $x'$ разные такие системы координат и известны компоненты $v^a$ относительно координат $x$, то компоненты $v'^a$ отностельно координат $x'$ однозначно определяются как некоторые функции, зависящие только от значений в $x_0$ компонент $v^a$ и частных производных функций перехода $f^i$, выражающих координаты $x'$ через координаты $x$ (в том смысле что для любой близкой точки пространства её координаты $x'^i=f^i(x^1,...,x^n)$): $v'^a(x_0)=F^a\left(v^b(x_0),f^i_{,j}(x_0), f^i_{,jk}(x_0),...\right)$.

Какой именно это объект -- зависит от того, сколько у него компонент и какая функция $F^a$: например, если $v$ ковектор, то компонент у него столько же, сколько размерность пространства-времени, а $v'_i=f^j_{,i}v_j$; если это вектор, то компонент столько же, но $v^i=(f^{-1})^i_{,j}v^j$, где $(f^{-1})^i_{,j}$ -- матрица, обратная к $f^i_{,j}$, и так далее.

Если $A$ -- векторное поле, то есть каждой системе координат сопоставлены компоненты $A^i$, преобразующиеся по векторному закону, то можно образовать другой объект $(dA)^i_j=A^i_{,j}$. Вам предлагают убедиться, что этот объект уже не является тензором (его компоненты в новых координатах нетривиально зависят от ВТОРЫХ производных функций перехода, чего для тензоров не бывает), и, соответственно, его свёртка с ненулевым вектором $(dA\cdot v)^i=A^i_{,j}v^j$ не является вектором.

kzv в сообщении #1494640 писал(а):

И в этом месте у меня вопрос: почему в правой части $A^k$ стоит без штриха?

Потому что они определяют символы Кристоффеля в какой-то одной (но совершенно произвольной) системе координат. После того, как мы их определим в произвольной системе координат, можно будет посчитать, как они меняются при замене координат (соответственно, какой объект они собой представляют -- не тензор, а более сложный объект: в формулах преобразования при замене координат будут вторые производные функций перехода).

Кстаи, по-моему, определение символов Кристоффеля там написано не очень удачно.

[kzv]

Большое спасибо за ответы.
Если я правильно понял, то получается, что обычный дифференциал от 4-вектора в криволинейных координатах не является вектором и именно поэтому вводится понятие ковариантного дифференциала такое, чтобы этот дифференциал давал всегда вектор?

То есть определяем новую сущность: "ковариантный дифференциал" по формуле:

$DA_i=dA_i+\delta A_i$

В правой части стоит сумма двух бесконечно малых векторов, первый - обычный дифференциал от вектора, а второй вектор - поправка связанная с криволинейностью которая должена быть пропорциональна обычному дифференциалу:

$\delta A_i \sim dA_i \sim A_k dX^l$

Коэффициенты пропорциональности и есть символы Кристоффеля.

Правильно ли я теперь понял эту математику?

[realeugene]

kzv в сообщении #1494804 писал(а):

В правой части стоит сумма двух бесконечно малых векторов

Не векторов. Не всё, что описывается несколькими числами - вектор. О чём и эта тема. Вектор - это независимый от координатной системы геометрический объект, который можно представить набором чисел в определённых координатах. Этот набор чисел должен изменяться определённым образом при замене координат. Ковариантный дифференциал - это ковариантный вектор. Куски справа - не векторы.

[warlock66613]

kzv в сообщении #1494804 писал(а):

поправка связанная с криволинейностью которая должена быть пропорциональна обычному дифференциалу:

Поправка не пропорциональна обычному дифференциалу. Обычный дифференциал — это $dA_i = \frac {\partial A_i}{\partial x^k} dx^k$, а поправка — это $\delta A_i = \Gamma^k_{ij}A_k dx^j$. В обычном дифференциале производные от вектора, а в поправке — сам вектор.

[kzv]

realeugene в сообщении #1494824 писал(а):

Куски справа - не векторы.

А как правильно сказать тогда?
Вот есть выражение:

$DA_i=dA_i+\delta A_i$

Слева стоит вектор, а справа сумма... Сумма чего? Первое слагаемое это дифференциал вектора или дифференциал сложной функции, дающей связь компонент вектора с радиус-вектором?

Функция: $A_i=A_i(x'_0,x'_1,x'_2,x'_3)$
Дифференциал этой функции: $dA_i=\frac{\partial A_i}{\partial x^l}dx^l$

Вектор: $A_i=A'_k\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}$
Дифференциал этого вектора: $dA_i=d(A'_k\frac{\partial x'^k}{\partial x^i})=...$

[warlock66613]

kzv в сообщении #1494988 писал(а):

радиус-вектором?

В криволинейном пространстве нет понятия радиус-вектора. $x^i$ — не вектор. Вот дифференциалы координат $dx^i$ уже образуют вектор, так как ведут себя как вектор при переходе к другим координатам $x'^i$.

kzv в сообщении #1494988 писал(а):

Первое слагаемое это дифференциал вектора или дифференциал сложной функции, дающей связь компонент вектора с радиус-векторомкоординатами?

Можно понимать и так, и так. Но дальше вы опять пишете ерунду. $A_i=A'_k\frac{\partial x'^k}{\partial x^i}$ — это конечно определение вектора, но только в смысле свойства, которым вектор должен обладать, а не в смысле, что выражение справа является определением того что слева.

-- 03.12.2020, 10:59 --

Может вам попробовать почитать учебник по дифференциальной геометрии? Или даже другой учебник по ОТО, например Мизнер, Торн, Уиллер "Гравитация"? Там другой подход к этим вещам, и у вас может многое проясниться.

[Slav-27]

kzv в сообщении #1494804 писал(а):

Если я правильно понял, то получается, что обычный дифференциал от 4-вектора в криволинейных координатах не является вектором и именно поэтому вводится понятие ковариантного дифференциала такое, чтобы этот дифференциал давал всегда вектор?

Ковариантные производные нужны для того, чтобы переносить векторы из одной точки в другую вдоль соединяющего их пути. Если пространство-время не плоское, то нет канонического способа это делать; фиксация какого-то одного способа есть введение некоей дополнительной структуры, и эта структура и есть ковариантная производная (иначе её называют связность). Когда мы зафиксировали такой способ переноса, то ковариантная производная $(\nabla_vX)^i=X^i_{;k}v^k$ векторного поля $X$, определённого около точки $p$, в направлении вектора $v$ в точке $p$, есть

$$\nabla_vX=\dfrac{\partial}{\partial t}\Big|_{t=0}\;\underset{{\gamma(t)\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}X(\gamma(t))=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\left(\underset{{\gamma(t)\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}X(\gamma(t))\right)-X(p)}{t}.$$

Здесь $\gamma(t)$ -- это некоторый путь в пространстве-времени, начинающийся в точке (событии) $\gamma(0)=p$ с начальной скоростью $\dfrac{d\gamma}{dt}(0)=v$, а $\underset{{\gamma(t)\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}X(\gamma(t))$ означает перенос значения векторного поля $X$ в точке $\gamma(t)$ из этой точки в точку $\gamma(0)=p$ вдоль пути $\gamma$.

Предположим, что

1. ковариантная производная (написанная выше) действительно зависит только от выбора направления $v$, но не зависит от выбора конкретного пути $\gamma$ с начальной скоростью $v$,
2. что от $v$ она зависит линейно (как и обычная производная функции по направлению),
3. что параллельный перенос вдоль заданного пути являтся линейной операцией.

Теперь выберем систему координат $(x^1,...,x^n)$ около $p$ и обозначим $e_i$ соответствующие базисные векторы (то есть ${e_i}^j=\delta_i^j$).

$(\nabla_{e_j}e_i)(p)$ -- это какой-то вектор, значит, он как-то раскладывается по базису: $(\nabla_{e_j}e_i)(p)=\Gamma_{ij}^k(p)e_k$.

Кроме того, пусть $f$ какая-то функция (скалярное поле) около $p$, тогда
$\nabla_v(fX)=\dfrac{\partial}{\partial t}\Big|_{t=0}\;\underset{{\gamma(t)\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}\left(f(\gamma(t))X(\gamma(t))\right)$
$=\dfrac{\partial}{\partial t}\Big|_{t=0}\;\left[f(\gamma(t))\underset{{\gamma(t)\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}X(\gamma(t))\right]$
$=\dfrac{\partial}{\partial t}\Big|_{t=0}\;\left[f(\gamma(t))\right]\underset{{p\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}X(p) \;\,+\;\, f(\gamma(t))\dfrac{\partial}{\partial t}\Big|_{t=0}\;\left[\underset{{\gamma(t)\xrightarrow[\gamma]{}p}}{\operatorname{par}}X(\gamma(t))\right]$
$=\partial_vf\,X+f\nabla_vX$. Здесь $\partial_vf=f_{,i}v^i$ -- частная производная $f$ по направлению $v$; мы воспользовались линейностью операции переноса (свойство 3), а затем правилом дифференцирования произведения -- формулой Лейбница.

Из выведенной нами "формулы Лейбница" и из определения коэффициентов связности $\Gamma$ теперь следует формула для ковариантной производной любого вектора: $\nabla_{e_j}(X^ie_i)$ $=X^i_{,j}e_i+X^i\nabla_{e_j}e_i = X^i_{,j}e_i+X^i\Gamma_{ij}^ke_k$ $=(X^k_{\phantom i,j}+\Gamma_{ij}^kX^i)e_k=X^k_{\phantom i;j}e_k$, где $X^k_{\phantom i;j}=X^k_{\phantom i,j}+\Gamma_{ij}^kX^i$.

В книжке написано по сути то же самое, но предположения явно не проговариваются, а возникают непонятно откуда непонятно в каком конкретно месте.

[Утундрий]

Slav-27
Не стыдно?

[Slav-27]

Утундрий
Сначала символы Кристоффеля определяются для плоского пространства-времени. Потом написано, что в силу принципа эквивалентности их можно обратить в 0 любом произвольно выбранном "бесконечно малом участке пространства". Откуда они вообще взялись в искривлённом пространстве -- про это ничего не написано (по крайней мере в этом параграфе), речь была исключительно о плоском. Читатель должен понять, что 1) в искривлённом пространстве они тоже есть (но пока непонятно, откуда берутся), 2) преобразуются при замене координат так же, как и те что в плоском, 3) выбором координат в любой данной точке их можно обнулить. Написано, что на последнем факте основано определение символов Кристоффеля в кривом пространстве ("тем самым все доказательства [о параллельном переносе -- Slav-27] становятся относящимися не только к плоскому, но и к кривому 4-пространству"), однако в конце параграфа и сам этот факт доказывается. На использование "бесконечно малых величин" вместо производных я даже не ругаюсь, в конце концов в этом есть (не обманчивая ли?) наглядность, что, возможно, хорошо. Вопросы, возникающие у неопытного читателя при первом (втором, ...) прочтении, -- в основном не относятся к сути дела (а посвящены всяким "разностям вежду вектором в плоских координатах и вектором в криволинейных"), примеры выше, и у меня такие вопросы тоже возникали (я это прочитал до того, как узнал, что такое дифференциальная геометрия). В общем, хотя мне и нравится книжка в целом, я отказываюсь признать это место (и некоторые другие) шедеврами педагогики, даже если вы настаиваете. Я, конечно, не утверждаю, что у меня получилось лучше, это судить не мне; я просто старался написать по-другому, надеясь, что те моменты, которые сложно понять там, будет легче понять тут.

[Утундрий]

Беру тайм-аут.

[kzv]

Да, в дифференциальной геометрии я не силен, поэтому сильно общие абстрактные вещи не понимаю. Хотелось бы разобраться именно в понятиях и обозначениях которые приняты в классическом учебнике Ландау-Лифшица.

Я так и не понял: что такое вектор в криволинейном пространстве? Это то же самое, что вектор в плоском пространстве или это что-то более общее, или вообще не то?

Например: дан вектор $\vec{A}=(A_x,A_y)=(2,3)$ в декартовых координатах. Можно ли (и если можно, то как и почему) найти соответствующий ему ковариантный вектор в полярных координатах?

Как я понимаю (возможно ерунду сейчас опять напишу):
Компоненты ковариантного вектора нужно искать по определению:
$A'_k=A_i \frac{\partial x^i}{\partial x'^k}$

При этом, в контексте задачи:
$x^i=(-x,-y)=(-x_1,-x_2)=x^i(x'_1,x'_2)=(-r \cos \varphi, -r \sin \varphi)$
$x'^k=(x'^1,x'^2)=(-r,-\varphi)$

$A_i=(A_1,A_2)=(A_x,A_y)=(2,3)=2\vec{i}+3\vec{j}$

Все подставляем и получаем ответ:
$A'_1=A_1 \frac{\partial x^1}{\partial x'^1} + A_2 \frac{\partial x^2}{\partial x'^1}=2 \frac{\partial (r \cos \varphi)}{\partial r} + 3 \frac{\partial (r \sin \varphi)}{\partial r}=2\cos\varphi+3\sin\varphi$

$A'_2=A_1 \frac{\partial x^1}{\partial x'^2} + A_2 \frac{\partial x^2}{\partial x'^2}=2 \frac{\partial (r \cos \varphi)}{\partial \varphi} + 3 \frac{\partial (r \sin \varphi)}{\partial \varphi}=-2r\sin\varphi+3r\cos\varphi$

Получаем в ответе вектор:
$A'_i=(A'_1,A'_2)=(2\cos\varphi+3\sin\varphi)\vec{i}+(-2r\sin\varphi+3r\cos\varphi)\vec{j}$

Вроде бы если по формулам из ЛЛ, то все логично, но мне кажется ерунда какая-то получается...
Итоговый вектор наверное должен быть похож на декартовый, но там должен быть другой базис. То есть я ожидаю от расчетов в итоге получить что-то такое:
$A'_i=r\vec{e_1}+\varphi\vec{e_2}$

Может надо тогда приравнять одно к другому чтобы найти базис с векторами $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ ?

[Утундрий]

kzv в сообщении #1495524 писал(а):

что такое вектор в криволинейном пространстве?

Это вектор в касательном пространстве.

kzv в сообщении #1495524 писал(а):

Например: дан вектор $\vec{A}=(A_x,A_y)=(2,3)$ в декартовых координатах. Можно ли (и если можно, то как и почему) найти соответствующий ему ковариантный вектор в полярных координатах?

Тут главное - осознать, что этот вопрос не имеет никакого отношения к предыдущему. У вас нет здесь никакого искривлённого пространства.

[kzv]

Утундрий в сообщении #1495527 писал(а):

Тут главное - осознать, что этот вопрос не имеет никакого отношения к предыдущему. У вас нет здесь никакого искривлённого пространства.

Параграф 83 в ЛЛ т.2 называется "Криволинейные координаты".
Википедия в качестве примера криволинейных координат приводит полярные координаты
Что я делаю не так?