Пусть у нас есть осесимметричное распределение плотности заряда вдоль образующей цилиндра радиуса
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
длиной
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
,
![$r \ll l$ $r \ll l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/b/75bcd99fd44c090d6a04ab313437731c82.png)
, с линейной плотностью
![$\lambda(x)=\lambda_0+\lambda_1 x$ $\lambda(x)=\lambda_0+\lambda_1 x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/c/1cc4f8f773e36bfec47dcca9ff75170682.png)
. Найдём напряжденность поля в точке
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
. Ввиду симметрии задачи напряженность поля на оси направлена вдоль оси.
Пусть
![$\varphi(x)$ $\varphi(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/51733a6ece5add8ff3a19f7275dd196d82.png)
- потенциал на оси при условии, что нулевой потенциал на бесконечности. Ввиду линейности линейной плотности распределения заряда
![$\varphi(x)\propto\lambda_0$ $\varphi(x)\propto\lambda_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/7/0a78a4a738b8246a2d5448d17c4e85c582.png)
. Тогда:
![$$\varphi(dx)=\frac{\lambda_0+\lambda_1 dx}{\lambda_0}\varphi(0)-\varphi^++\varphi^-$$ $$\varphi(dx)=\frac{\lambda_0+\lambda_1 dx}{\lambda_0}\varphi(0)-\varphi^++\varphi^-$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/9/e5964ee38b2f176a5c7deeb56427109582.png)
где
![$$\varphi^\pm=\frac{\left(\lambda_0\pm\lambda_1l/2\right)dx}{4\pi\varepsilon l/2}$$ $$\varphi^\pm=\frac{\left(\lambda_0\pm\lambda_1l/2\right)dx}{4\pi\varepsilon l/2}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f7340297fe3dc4a6142fc52ad190d4d482.png)
откуда
![$$E_x=-\frac{d\varphi}{dx}=\lambda_1\left(\frac 1{2\pi\varepsilon}-\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}\right)$$ $$E_x=-\frac{d\varphi}{dx}=\lambda_1\left(\frac 1{2\pi\varepsilon}-\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}\right)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/6/4a6d166316650b5a7becdee2514d756682.png)
где
![$\varphi(0)/\lambda_0$ $\varphi(0)/\lambda_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/c/e3c5d07032633f29eacad58aae34b2c782.png)
- зависящая от геометрии рассматриваемого проводника константа, которую несложно найти интегрированием.
Если мы рассматриваем линейное приближение распределения заряда на поверхности проводника, находящегося во внешнем направленном вдоль оси электрическом поле
![$E_{ext}$ $E_{ext}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/c/bcc4fa0e04d4cd0cb1cc4fa7b159a1ce82.png)
, должно быть:
![$$E_{ext}=-E_x=\lambda_1\left(\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}-\frac 1{2\pi\varepsilon}\right)$$ $$E_{ext}=-E_x=\lambda_1\left(\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}-\frac 1{2\pi\varepsilon}\right)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/b/c5b49bb7ff408248a14c4183fe53499582.png)
откуда следует, что линейная плотность заряда в окрестности центра небольшого проводящего цилиндра, находящегося во внешнем направленном вдоль оси цилиндра поле, не может быть постоянной.
Осталось вернуться к исходной задаче и вырезать из всего проводника небольшой участок на некотором расстоянии от центра проводника. Так как по разные стороны от этого участка несимметрично расположен различный заряд, в вырезе будет осевое электрическое поле, а значит, и линейная плотность заряда на этом участке проводника не будет константой.