Теорема об овеществлении

[Xaositect]

Верно. По-другому: пусть $a + bx = c(x + 1) + d(x - 1) = (c - d) + (c + d)x$, т. е. $\begin{cases} a = c - d \\ b = c + d \end{cases}$, откуда $c = \frac{a + b}{2}, d = \frac{b - a}{2}$

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1494351 писал(а):

Пусть у нас $L$ - это пространство многочленов степени не более $2$ (т.е. $a + bx + cx^2$), в нем фиксирован базис $e_1 = 1, e_2 = x, e_3 = x^2$. $M$ - это пространство многочленов степени не более $1$ (т.е. $a + bx$), в нем фиксирован базис $e'_1 = x + 1, e'_2 = x - 1$. Отображение $f$ - это дифференцирование многочлена. Запишите матрицу этого отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.

1.

$f(\textbf e_1)=f(\textbf 1)=\textbf 0=\xi_{11}(\textbf x + \textbf 1)+\xi_{21}(\textbf x - \textbf 1)$, где $\xi_{11}, \xi_{21}$ коэффициенты разложения вектора $\textbf 0$ по базису $(\textbf e'_1, \textbf e'_2)$.

Xaositect в сообщении #1494567 писал(а):

пусть $a + bx = c(x + 1) + d(x - 1) = (c - d) + (c + d)x$, т. е. $\begin{cases} a = c - d \\ b = c + d \end{cases}$, откуда $c = \frac{a + b}{2}, d = \frac{b - a}{2}$

Используем приведенные выражения для $c, d$, заметив, что вектор $\textbf a + b\textbf x$ выражен здесь через базис $\textbf 1, \textbf x$ и координаты $a, b$.

Тогда $c=\xi_{11}, d=\xi_{21}$.

Выразим вектор $\textbf 0$ в базисе $\textbf 1, \textbf x$: $\textbf 0=0\cdot \textbf 1+0\cdot \textbf x$. Поскольку здесь $a=b=0$, получим

$$\xi_{11}=\frac{a + b}2=\frac{0 + 0}2=0, \,\,\,\,\xi_{21}=\frac{b-a}2=\frac{0 - 0}2=0.$$

2.

$f(\textbf e_2)=f(\textbf x)=\textbf 1=\xi_{12}(\textbf x + \textbf 1)+\xi_{22}(\textbf x - \textbf 1)$, где $\xi_{12}, \xi_{22}$ коэффициенты разложения вектора $\textbf 1$ по базису $(\textbf e'_1, \textbf e'_2)$.

Теперь $c=\xi_{12}, d=\xi_{22}$.

Выразим вектор $\textbf 1$ в базисе $\textbf 1, \textbf x$: $\textbf 1=1\cdot \textbf 1+0\cdot \textbf x$. Поскольку здесь $a=1, \,\, b=0$, получим

$$\xi_{12}=\frac{a + b}2=\frac{1 + 0}2=\frac{1}2, \,\,\,\,\xi_{22}=\frac{b-a}2=\frac{0 - 1}2=-\frac{1}2.$$

3.

$f(\textbf e_3)=f(\textbf x^2)=2\textbf x=\xi_{13}(\textbf x + \textbf 1)+\xi_{23}(\textbf x - \textbf 1)$, где $\xi_{13}, \xi_{23}$ коэффициенты разложения вектора $2\textbf x$ по базису $(\textbf e'_1, \textbf e'_2)$.

Теперь $c=\xi_{13}, d=\xi_{23}$.

Выразим вектор $2\textbf x$ в базисе $\textbf 1, \textbf x$: $2\textbf x=0\cdot \textbf 1+2\cdot \textbf x$. Поскольку здесь $a=0, \,\, b=2$, получим

$$\xi_{13}=\frac{a + b}2=\frac{0 + 2}2=1, \,\,\,\,\xi_{23}=\frac{b-a}2=\frac{2 - 0}2=1.$$

Таким образом,

$$\begin {pmatrix} 0&1/2&1\\ 0&-1/2&1 \end {pmatrix}$$

-- матрица отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.

[Xaositect]

Верно.
По овеществлению теперь вопросы остались?

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1494645 писал(а):

По овеществлению теперь вопросы остались?

Спасибо за помощь!

Есть такой вопрос. В https://scask.ru/c_book_agm.php?id=106 , стр.383, второй абзац, кажется, Александров (они не пишут, кто) говорит (хотя и не прямо), что в комплексном пространстве матрица перехода к другой системе координат всегда вещественная. Так ли это?

Может быть, почему-либо это так в аффинном пространстве? А в векторном? Разве нельзя в векторном пространстве взять комплексную матрицу преобразования (перехода от базиса к базису в том же пространстве)?

Во всяком случае, матрица отображения из пространства в пространство может быть комплексной - судя по приведенной теореме.

[Xaositect]

Vladimir Pliassov в сообщении #1494680 писал(а):

Есть такой вопрос. В https://scask.ru/c_book_agm.php?id=106 , стр.383, второй абзац, кажется, Александров (они не пишут, кто) говорит (хотя и не прямо), что в комплексном пространстве матрица перехода к другой системе координат всегда вещественная. Так ли это?

Это только в контексте данного раздела, он там потом рассматривает коники, там важно, что мы рассматриваем только действительные преобразования координат.

В общем случае и матрицы перехода, и матрицы операторов комплексные.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо.