Предел среднего

[lel0lel]

(Оффтоп)

Действительно, первая идея, которая должна приходить в голову -- применить эту формулу (если с ней знаком).
Благодаря этой теме узнал для себя много нового.

[sup]

RIP в сообщении #1494025 писал(а):

На самом деле нет — в работе доказывается одновременно и существование плотностей, и формула (с опусканием стандартных выкладок). Логика такая. Формулу (4.7) можно проинтерпретировать как сходимость характеристических функций.

Это ладно. А как доказать (4.7) из (4.4)-(4.6)? Как мне представляется, это и есть ключевой момент.
А в статье этот вопрос изящно предложен читателю в качестве "легкого упражнения"

Renyi, Turan писал(а):

Thus it follows by standard methods (much simpler than those used in 1)

Вот и возник вопрос, о каких "стандартных" методах идет речь. Если вполне себе "стандартная" т.Х.-Л., то тогда плотности надо постулировать. Там не такая сумма получается. А если это теорема Икеара, то возникает вопрос, насколько она "стандартная" и более простая.
Может я что-то упускаю? Какое-то простое рассуждение?

[RIP]

sup в сообщении #1494041 писал(а):

А как доказать (4.7) из (4.4)-(4.6)?

Формула Перрона. Подобно тому, как асимптотический закон распределения простых чисел доказывается в книжке Карацубы, которую я выше упоминал. Вещь абсолютно стандартная, хоть и несколько громоздкая, если выписывать все детали. «Легко» оно по сравнению с доказательством основного результата статьи.

-- Ср 2020-11-25 07:30:40 --

То есть $\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}u\Delta(k)}$ примерно равно интегралу $\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{c-T\mathrm{i}}^{c+T\mathrm{i}}\delta(s,u)\frac{n^s}{s}\mathrm{d}s$, который примерно равен интегралу по прямоугольнику вокруг точки $s=1$, то есть $\operatorname{Res}_{s=1}\delta(s,u)\frac{n^s}{s}=A(1,u)n$. Должны подойти те же параметры, что и в книжке Карацубы (более-менее). То есть никаких «готовых» результатов — только вычисления в лоб, только хардкор.

[sup]

Ага, я так и подумал. Я еще хотел написать, что, например, для Вас не проблема за пару минут написать интеграл вокруг полюса, оценить его и получить кучу оценок сходимости.
Ну да, статья не для "чайников", поэтому и "стандартные" методы.
А я как-то ориентировался на "стандартный" матанализ. Ну, может, чуть повыше стандартного курса.

[vicvolf]

Поскольку в этой теме мы обсуждаем аддитивные арифметические функции и нас интересует наличие у них предельного распределения, то хотел бы обратить внимание уважаемых участников обсуждения на две теоремы: https://link.springer.com/chapter/10.10 ... 2-9989-9_6
Если предельное распределение существует, то также там дается условие, когда оно будет дискретным, а когда непрерывным. Желающие могут проверить на нашем примере.

[lel0lel]

Есть в работе венгерских математиков интересная деталь -- фактически они предложили способ получать асимптотические плотности подмножеств целых чисел определённого типа. Правда в рассматриваемой ими задаче они получили хорошо известную плотность свободных от квадратов чисел и, вероятно, не придали этому значения. Мне показалось интересным получить общую теорему для плотностей и показать как её следует применять на некоторых примерах. Сегодня ночью изложил мысли в небольшой бумаге. Выложу её ещё и здесь, ведь результат появился благодаря этой теме.
On natural densities of sets of some type integers

[vicvolf]

lel0lel в сообщении #1493745 писал(а):

$\overline{ \Delta(n)^2}=\sum\frac{p^2+p-1}{p^2(p-1)^2}+\left(\sum\frac{1}{p(p-1)}\right)^2$

У Вас, что момент второго порядка конечен?

[lel0lel]

Да, а что не должен? Давайте смотреть. Имеем $\overline{ \Delta(n)^m}=\sum_{k=0}^{\infty}d_k k^{m}.$ С учётом того, что $d_k\sim \frac{1}{2^{k+1}}\prod_{p=3}^{\infty}\frac{(p-1)^2}{p(p-2)}$ для $k\to\infty$, рассматриваемый ряд сходится при любом натуральном $m$. Всё это есть в работе венгерских математиков. Почитайте её ещё раз.

Проверил на компьютере двумя способами -- используя сумму, затем используя произведение. Результаты совпадают $\overline{ \Delta(n)^2}\approx 2.2937.$ Вы поищите формулу для произвольного момента, это будет довольно интересный результат. Всего-то надо уметь дифференцировать произведение.

[vicvolf]

lel0lel в сообщении #1494623 писал(а):

Да, а что не должен? Давайте смотреть. Имеем $\overline{ \Delta(n)^m}=\sum_{k=0}^{\infty}d_k k^{m}.$ С учётом того, что $d_k\sim \frac{1}{2^{k+1}}\prod_{p=3}^{\infty}\frac{(p-1)^2}{p(p-2)}$ для $k\to\infty$, рассматриваемый ряд сходится при любом натуральном $m$. Всё это есть в работе венгерских математиков. Почитайте её ещё раз.

Проверил на компьютере двумя способами -- используя сумму, затем используя произведение. Результаты совпадают $\overline{ \Delta(n)^2}\approx 2.2937.$ Вы поищите формулу для произвольного момента, это будет довольно интересный результат. Всего-то надо уметь дифференцировать произведение.

Вот здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_ome ... te_note-10 обратите внимание на пример в конце раздела Average order and summatory functions.
По-моему из него вытекает, что дисперсия растет, как $\ln\ln(x)$.

[lel0lel]

Эта формула даёт только верхнюю оценку мощности множества. С её помощью заключать о существовании-несуществовании моментов высоких порядков нельзя.
Правую часть этой формулы можно заменить на $O(x)$. Формула, очевидно, останется верной. Но ведь при этом первый момент существовать не перестанет.

[vicvolf]

Эта формула является одной из форм, так называемого "аналога закона больших чисел для арифметических функций": $P_n(|f(n)-A_n|>g(n)\sqrt {D_n}))\to 0$, при $n \to \infty$, где $P_n$ - вероятность, $f$ - арифметическая функция, $g$ - медленно растущая функция, меньшая $n$ в любой степени, $A_n,D_n$ - соответственно среднее значение и дисперсия арифметической функции $f$. В таком, примерно, виде записана теорема Харди-Рамануджана здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B0

Я согласен, что предел среднего значения разности $\Omega(n)-\omega(n)$ при $n \to \infty$ конечен, но вот дисперсия ...

[lel0lel]

Почитайте про нотацию $O(f)$.

[alisa-lebovski]

Если есть предельная производящая функция при каких-то $|z|>1$, то дисперсия тем более существует. Формула в Википедии действительно неудачная, создает ложное впечатление. Фактически там записано неравенство Маркова (для специального вида аргумента) в случае конечного среднего, к дисперсии прямого отношения не имеет.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1494759 писал(а):

Если есть предельная производящая функция, то дисперсия тем более существует.

В Боровкове на стр. 131 в св-ве характеристических функций сказано, что если существует к-ый момент случайной величины, то существует непрерывная к-ая производная характеристической функции данной случайной величины. Но обратное утверждение верно только для четных моментов, т.е. возможно, чтобы мат. ожидание было конечно и даже равно нулю, а дисперсия не ограничена. Могу привести примеры.

[alisa-lebovski]

Неудачно выразилась, дополнила. Но в общем из сходимости

$$\sum_{i=0}^\infty z^kd_k,\quad \exists |z|>1,$$

следует сходимость и

$$\sum_{i=0}^\infty k^2d_k,$$

где $d_k\ge 0$ ("плотности").