Сюръективный гомоморфизм

[MChagall]

Дана конечная абелева группа G. Показать, что существует $n$ и сюръективный гомоморфизм $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\to G$.

Я, вроде, решил. $G=\oplus(\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z})$. Тогда теорема Дирихле позволяет выбрать простые $p_i=q_in_i+1$ и взять $n=\prod\limits_{}^{}p_i$.
Но у нас не было теоремы Дирихле, я посмотрел её доказательство - оно не простое.
Можно ли обойтись без неё?
На лекции была теорема о примитивном элементе и теорема Дедекинда о независимости характеров. Думается, что нужно как-то использовать как раз характеры.

[nnosipov]

MChagall в сообщении #1493359 писал(а):

Но у нас не было теоремы Дирихле, я посмотрел её доказательство - оно не простое.

Это в общем случае не простое, а в Вашем частном случае (для данного натурального $m>1$ доказать, что существует бесконечно много простых чисел $p \equiv 1 \pmod{m}$) доказательство несложное (идея Евклида плюс свойства кругового многочлена $\Phi_m(x)$). В принципе, если его разобрать (а его и школьникам иногда рассказывают), то, может быть, и польза будет.

Но лучше, конечно, что-нибудь без Дирихле придумать.

Upd. Да, без Дирихле вполне можно обойтись. Достаточно того факта, что группы $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$ --- циклические ($p$ --- нечетное простое, $k$ --- натуральное). Это довольно известный факт (теорема Гаусса).

[MChagall]

nnosipov в сообщении #1493365 писал(а):

Достаточно того факта, что группы $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$ --- циклические

Это знаю, порядка $p^k-p^{k-1}$

nnosipov в сообщении #1493365 писал(а):

без Дирихле вполне можно обойтись

А как?

[nnosipov]

MChagall в сообщении #1493405 писал(а):

А как?

Пардон, это у меня аберрация случилась (вообразилось поле из $p^k$ элементов, и мне померещилось, что порядок $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$ равен $p^k-1$). Исправлять не стал, так как не сомневался, что Вы на это обратите внимание. В общем, не знаю, как тут обойтись без Дирихле. Но тот компромисс, что я предложил выше, мне кажется разумным. Если кто-то напишет другое решение, с удовольствием почитаю, ибо любопытно.

[vpb]

nnosipov в сообщении #1493407 писал(а):

Если кто-то напишет другое решение, с удовольствием почитаю, ибо любопытно

Написать не напишу, бо низзя, но намекну.

Чёрт, а как намекнуть-то, чтоб не писать полное решение ? Это счас подумать надо ...

[nnosipov]

До меня, кажется, начинает доходить. В формуле для $\varphi(p^k)$ два сомножителя; мы пользовались вторым (который $p-1$), а ведь можно и воспользоваться первым.

[vpb]

А нет, это меня бес попутал. Решения, чисто числового, без частного случая Дирихле нет и быть не может, т.к. утверждение задачи и этот частный случай эквивалентны, в том смысле, что друг из друга выводятся в две строчки.

-- 20.11.2020, 12:59 --

nnosipov в сообщении #1493425 писал(а):

До меня, кажется, начинает доходить

О, я вижу, жертвой нечистого пал не один я

[nnosipov]

Да уж Но пусть $G$ --- просто одна циклическая группа. Тогда-то без Дирихле можно обойтись?

[vpb]

Тут-то можно, конечно ...

[nnosipov]

Значит, и когда все $n_i$ попарно взаимно просты --- тоже можно. Но беда в том, что они вовсе не обязаны быть таковыми.

[vpb]

nnosipov в сообщении #1493435 писал(а):

Значит, и когда все $n_i$ попарно взаимно просты --- тоже можно.

Дык, это случай циклической группы и есть. А в общем, я подумал так. Если б я такой вопрос решал для себя, то, конечно, тут же бы вспомнил про Дирихле. А есть ли "студенческое" решение без Дирихле --- это какой-то очень неясный вопрос, безнадежный я бы сказал. В общем, покину я эту тему.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1493437 писал(а):

Дык, это случай циклической группы и есть.

А, и в самом деле.

[vpb]

Я думаю, в этой задаче на самом деле ожидали решения через теорему Дирихле. (Предполагается, наверное, что студенты её откуда-то знают).