2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 07:32 


08/12/17
255
Дана конечная абелева группа G. Показать, что существует $n$ и сюръективный гомоморфизм $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\to G$.

Я, вроде, решил. $G=\oplus(\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z})$. Тогда теорема Дирихле позволяет выбрать простые $p_i=q_in_i+1$ и взять $n=\prod\limits_{}^{}p_i$.
Но у нас не было теоремы Дирихле, я посмотрел её доказательство - оно не простое.
Можно ли обойтись без неё?
На лекции была теорема о примитивном элементе и теорема Дедекинда о независимости характеров. Думается, что нужно как-то использовать как раз характеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 08:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
MChagall в сообщении #1493359 писал(а):
Но у нас не было теоремы Дирихле, я посмотрел её доказательство - оно не простое.
Это в общем случае не простое, а в Вашем частном случае (для данного натурального $m>1$ доказать, что существует бесконечно много простых чисел $p \equiv 1 \pmod{m}$) доказательство несложное (идея Евклида плюс свойства кругового многочлена $\Phi_m(x)$). В принципе, если его разобрать (а его и школьникам иногда рассказывают), то, может быть, и польза будет.

Но лучше, конечно, что-нибудь без Дирихле придумать.

Upd. Да, без Дирихле вполне можно обойтись. Достаточно того факта, что группы $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$ --- циклические ($p$ --- нечетное простое, $k$ --- натуральное). Это довольно известный факт (теорема Гаусса).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 12:46 


08/12/17
255
nnosipov в сообщении #1493365 писал(а):
Достаточно того факта, что группы $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$ --- циклические

Это знаю, порядка $p^k-p^{k-1}$
nnosipov в сообщении #1493365 писал(а):
без Дирихле вполне можно обойтись

А как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 13:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
MChagall в сообщении #1493405 писал(а):
А как?
Пардон, это у меня аберрация случилась (вообразилось поле из $p^k$ элементов, и мне померещилось, что порядок $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*$ равен $p^k-1$). Исправлять не стал, так как не сомневался, что Вы на это обратите внимание. В общем, не знаю, как тут обойтись без Дирихле. Но тот компромисс, что я предложил выше, мне кажется разумным. Если кто-то напишет другое решение, с удовольствием почитаю, ибо любопытно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 13:44 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
nnosipov в сообщении #1493407 писал(а):
Если кто-то напишет другое решение, с удовольствием почитаю, ибо любопытно
Написать не напишу, бо низзя, но намекну.

Чёрт, а как намекнуть-то, чтоб не писать полное решение ? Это счас подумать надо ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 13:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
До меня, кажется, начинает доходить. В формуле для $\varphi(p^k)$ два сомножителя; мы пользовались вторым (который $p-1$), а ведь можно и воспользоваться первым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 13:58 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
А нет, это меня бес попутал. Решения, чисто числового, без частного случая Дирихле нет и быть не может, т.к. утверждение задачи и этот частный случай эквивалентны, в том смысле, что друг из друга выводятся в две строчки.

-- 20.11.2020, 12:59 --

nnosipov в сообщении #1493425 писал(а):
До меня, кажется, начинает доходить
О, я вижу, жертвой нечистого пал не один я :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 14:03 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да уж :-) Но пусть $G$ --- просто одна циклическая группа. Тогда-то без Дирихле можно обойтись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 14:11 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Тут-то можно, конечно ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 14:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Значит, и когда все $n_i$ попарно взаимно просты --- тоже можно. Но беда в том, что они вовсе не обязаны быть таковыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 14:31 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
nnosipov в сообщении #1493435 писал(а):
Значит, и когда все $n_i$ попарно взаимно просты --- тоже можно.
Дык, это случай циклической группы и есть. А в общем, я подумал так. Если б я такой вопрос решал для себя, то, конечно, тут же бы вспомнил про Дирихле. А есть ли "студенческое" решение без Дирихле --- это какой-то очень неясный вопрос, безнадежный я бы сказал. В общем, покину я эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение20.11.2020, 14:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vpb в сообщении #1493437 писал(а):
Дык, это случай циклической группы и есть.
А, и в самом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сюръективный гомоморфизм
Сообщение21.11.2020, 13:16 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Я думаю, в этой задаче на самом деле ожидали решения через теорему Дирихле. (Предполагается, наверное, что студенты её откуда-то знают).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group