2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение17.11.2020, 15:04 


30/09/18
164
В треугольник единичной площади бросается три точки (с равномерным распределением их положения по площади треугольника) - найти математическое ожидание площади треугольника, образованного этими тремя точками.

Я знаю ответ $\frac{1}{12}$. Пыталась поступить так - зафиксировать прямую, на которой две из трех точек, и третью равномерно кинуть в получившийся треугольник и четырехугольник. Там получается выражение с площадями двух частей, и не понимаю, что с ним дальше делать :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение17.11.2020, 15:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Читали, что по этому поводу написано на MathWorld?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение17.11.2020, 15:52 


30/09/18
164
Aritaborian
Хочется чего-то попроще, чтоб решение записать можно было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение19.11.2020, 22:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
marie-la
Ну, ручками - можно сделать. Но - длинно, в 6 шагов. И один интеграл (однократный) все же пришлось считать.
Если интересно - напишите, я схему набросаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение19.11.2020, 23:24 


30/09/18
164
DeBill
Попробую сама расписать, раз вы говорите, что там считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 17:24 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
marie-la
Ну, схема довольно замысловатая - однако проще я не вижу...
Пусть наш тр-к имеет площадь $S=1$, и $p$ - ожидаемая площадь треугольника из трех брошенных точек. Тогда
1. Счет $p$: Отрежем от нашего тр-ка прямой, параллельной основанию, и делящую его высоту в отношении $(1-\delta) : \delta$, узкую полоску. Тогда из формулы для условного матожидания имеем (с точностью до малых второго порядка): $p=((1-\delta)^2)^3\cdot p(1-\delta)^2+3\cdot 2\delta \cdot q$, где $q$ - ожидаемая площадь для случая, когда одна точка равномерно распределена на стороне тр-ка, а две других - равномерно по всему тр-ку ($(1-\delta)^2$ - площадь оставшегося тр-ка, а также и вероятность в него попасть точке; в кубе - потому как точек три; $2\delta$ - площадь полоски; 3 - потому как одна из трех могла попасть в полоску). Сравнивая в этом равенстве малые первого порядка, получим
$$4p=3q$$
2. Аналогично, отрезая полоску сбоку, получим
$$7q=r+4s$$
где $s$- ожидаемая площадь для случая "одна точка - равномерномерно на стороне, другая - на другой стороне, третья - в тр-ке", а $r$- ожидаемая площадь для случая "одна точка - в вершине, две - в тр-ке"
3. Аналогично получаем $3s=t+u$, где $t$- для случая "три точки бегают по трем сторонам", а $u$ - "одна - в вершине, другая - на основании, третья - в тр-ке".
4. Аналогично $2u=3r$
5. $t=\frac{1}{4}$- можно получить "вычитанием" площадей, а
6. $u=\frac{2}{9}$ - - интегрированием (используя простой факт, что в случае "одна точка - вершина, другая - вершина, третья - в тр-ке", ожидаемая площадь равна одной трети - ибо свойство медиан...)
Аккуратный счет теперь даст желаемый ответ...
Нда.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 18:01 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
DeBill, а что насчёт интеграла, который приводится в упомянутой мною статье энциклопедии MathWorld? Там упоминается некая cylindrical algebraic decomposition. Ваш способ, насколько я способен понять, принципиально является более простым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 18:18 


21/11/20

12
marie-la в сообщении #1492801 писал(а):
В треугольник единичной площади бросается три точки (с равномерным распределением их положения по площади треугольника) - найти математическое ожидание площади треугольника, образованного этими тремя точками.

Я знаю ответ $\frac{1}{12}$. Пыталась поступить так - зафиксировать прямую, на которой две из трех точек, и третью равномерно кинуть в получившийся треугольник и четырехугольник. Там получается выражение с площадями двух частей, и не понимаю, что с ним дальше делать :(

По Монте-Карло посчитать. Программка пишется за пять минут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 18:39 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
bigredcat, программка программкой, но в данном случае речь идёт об аналитическом нахождении искомой величины. Не путайте тёплое с мягким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение23.11.2020, 00:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Aritaborian
Да скорее всего, вычисление того интеграла и даст рассмотренную схему (переходы к "граничным" значениям сл. величин соответствуют, типа, подстановке пределов интегрирования в первообразную; интеграл - 6-мерный, ну и тут тоже 6...).
А вот попытки использования симметрий - как в знаменитой задаче про лягушку (лягушка прыгает на метр в случайном направлении. Найти вероятность того, что за три прыжка она ускачет не далее чем на метр от начальной точки), или - тоже классика "на $n$- мерной сфере выбрали $n+2$ точки. Найти вероятность того, что их выпуклая оболочка содержит центр сферы" - чёто не прокатили...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group