2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение17.11.2020, 15:04 


30/09/18
161
В треугольник единичной площади бросается три точки (с равномерным распределением их положения по площади треугольника) - найти математическое ожидание площади треугольника, образованного этими тремя точками.

Я знаю ответ $\frac{1}{12}$. Пыталась поступить так - зафиксировать прямую, на которой две из трех точек, и третью равномерно кинуть в получившийся треугольник и четырехугольник. Там получается выражение с площадями двух частей, и не понимаю, что с ним дальше делать :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение17.11.2020, 15:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Читали, что по этому поводу написано на MathWorld?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение17.11.2020, 15:52 


30/09/18
161
Aritaborian
Хочется чего-то попроще, чтоб решение записать можно было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение19.11.2020, 22:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
marie-la
Ну, ручками - можно сделать. Но - длинно, в 6 шагов. И один интеграл (однократный) все же пришлось считать.
Если интересно - напишите, я схему набросаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение19.11.2020, 23:24 


30/09/18
161
DeBill
Попробую сама расписать, раз вы говорите, что там считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 17:24 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
marie-la
Ну, схема довольно замысловатая - однако проще я не вижу...
Пусть наш тр-к имеет площадь $S=1$, и $p$ - ожидаемая площадь треугольника из трех брошенных точек. Тогда
1. Счет $p$: Отрежем от нашего тр-ка прямой, параллельной основанию, и делящую его высоту в отношении $(1-\delta) : \delta$, узкую полоску. Тогда из формулы для условного матожидания имеем (с точностью до малых второго порядка): $p=((1-\delta)^2)^3\cdot p(1-\delta)^2+3\cdot 2\delta \cdot q$, где $q$ - ожидаемая площадь для случая, когда одна точка равномерно распределена на стороне тр-ка, а две других - равномерно по всему тр-ку ($(1-\delta)^2$ - площадь оставшегося тр-ка, а также и вероятность в него попасть точке; в кубе - потому как точек три; $2\delta$ - площадь полоски; 3 - потому как одна из трех могла попасть в полоску). Сравнивая в этом равенстве малые первого порядка, получим
$$4p=3q$$
2. Аналогично, отрезая полоску сбоку, получим
$$7q=r+4s$$
где $s$- ожидаемая площадь для случая "одна точка - равномерномерно на стороне, другая - на другой стороне, третья - в тр-ке", а $r$- ожидаемая площадь для случая "одна точка - в вершине, две - в тр-ке"
3. Аналогично получаем $3s=t+u$, где $t$- для случая "три точки бегают по трем сторонам", а $u$ - "одна - в вершине, другая - на основании, третья - в тр-ке".
4. Аналогично $2u=3r$
5. $t=\frac{1}{4}$- можно получить "вычитанием" площадей, а
6. $u=\frac{2}{9}$ - - интегрированием (используя простой факт, что в случае "одна точка - вершина, другая - вершина, третья - в тр-ке", ожидаемая площадь равна одной трети - ибо свойство медиан...)
Аккуратный счет теперь даст желаемый ответ...
Нда.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 18:01 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
DeBill, а что насчёт интеграла, который приводится в упомянутой мною статье энциклопедии MathWorld? Там упоминается некая cylindrical algebraic decomposition. Ваш способ, насколько я способен понять, принципиально является более простым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 18:18 


21/11/20

12
marie-la в сообщении #1492801 писал(а):
В треугольник единичной площади бросается три точки (с равномерным распределением их положения по площади треугольника) - найти математическое ожидание площади треугольника, образованного этими тремя точками.

Я знаю ответ $\frac{1}{12}$. Пыталась поступить так - зафиксировать прямую, на которой две из трех точек, и третью равномерно кинуть в получившийся треугольник и четырехугольник. Там получается выражение с площадями двух частей, и не понимаю, что с ним дальше делать :(

По Монте-Карло посчитать. Программка пишется за пять минут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение22.11.2020, 18:39 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
bigredcat, программка программкой, но в данном случае речь идёт об аналитическом нахождении искомой величины. Не путайте тёплое с мягким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическое ожидание площади треугольника
Сообщение23.11.2020, 00:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Aritaborian
Да скорее всего, вычисление того интеграла и даст рассмотренную схему (переходы к "граничным" значениям сл. величин соответствуют, типа, подстановке пределов интегрирования в первообразную; интеграл - 6-мерный, ну и тут тоже 6...).
А вот попытки использования симметрий - как в знаменитой задаче про лягушку (лягушка прыгает на метр в случайном направлении. Найти вероятность того, что за три прыжка она ускачет не далее чем на метр от начальной точки), или - тоже классика "на $n$- мерной сфере выбрали $n+2$ точки. Найти вероятность того, что их выпуклая оболочка содержит центр сферы" - чёто не прокатили...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group