marie-laНу, схема довольно замысловатая - однако проще я не вижу...
Пусть наш тр-к имеет площадь

, и

- ожидаемая площадь треугольника из трех брошенных точек. Тогда
1. Счет

: Отрежем от нашего тр-ка прямой, параллельной основанию, и делящую его высоту в отношении

, узкую полоску. Тогда из формулы для условного матожидания имеем (с точностью до малых второго порядка):

, где

- ожидаемая площадь для случая, когда одна точка равномерно распределена на стороне тр-ка, а две других - равномерно по всему тр-ку (

- площадь оставшегося тр-ка, а также и вероятность в него попасть точке; в кубе - потому как точек три;

- площадь полоски; 3 - потому как одна из трех могла попасть в полоску). Сравнивая в этом равенстве малые первого порядка, получим

2. Аналогично, отрезая полоску сбоку, получим

где

- ожидаемая площадь для случая "одна точка - равномерномерно на стороне, другая - на другой стороне, третья - в тр-ке", а

- ожидаемая площадь для случая "одна точка - в вершине, две - в тр-ке"
3. Аналогично получаем

, где

- для случая "три точки бегают по трем сторонам", а

- "одна - в вершине, другая - на основании, третья - в тр-ке".
4. Аналогично

5.

- можно получить "вычитанием" площадей, а
6.

- - интегрированием (используя простой факт, что в случае "одна точка - вершина, другая - вершина, третья - в тр-ке", ожидаемая площадь равна одной трети - ибо свойство медиан...)
Аккуратный счет теперь даст желаемый ответ...
Нда.....