Что такое матрица линейного преобразования?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492668 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492664 писал(а):

то умножать матрицу на координаты вектора можно только справа, а слева нельзя

"На координаты" умножать в любом случае нельзя. Можно умножать на вектор-столбец справа и на вектор-строку слева. Просто при умножении на вектор-столбец справа получится вектор-столбец, соответствующий образу линейного преобразования, а при умножении слева на вектор-строку - не получится. Ну никто и не обещал, что получится.

А почему нельзя сказать: "умножать на координаты"? Ведь понятно, что они располагаются в виде вектора-столбца или вектора-строки.

mihaild в сообщении #1492668 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492664 писал(а):

Чтобы иметь возможность без нареканий при преобразованиях умножать матрицу на координаты вектора справа или слева по своему усмотрению.

А что мешает вам сейчас умножать транспонированную матрицу?

В обход закона никто не мешает, но если принять соответствующий закон, то есть альтернативное определение преобразования пространства, тогда это можно делать по закону.

Разумеется, это как бы в шутку, но все же формально, опираясь на определение

"матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов",

нельзя транспонировать эту матрицу, если на полученную в результате этого транспонирования матрицу смотреть как на матрицу преобразования.

Еще один момент. Если функцию $a$ преобразования $\textbf A$ заменить на функцию $a^*$: $a^*_{ij}=\overline a_{ji}$ при том же условии соответствия, то получится преобразование $\textbf A^*$, сопряженное к преобразованию $\textbf A$.

[Xaositect]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492675 писал(а):

Разумеется, это как бы в шутку, но все же формально, опираясь на определение

"матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов",

нельзя транспонировать эту матрицу, если на полученную в результате этого транспонирования матрицу смотреть как на матрицу преобразования.

Разумеется можно, просто это будет матрица другого преобразования. Если хотите, сразу после определения можно написать теорему: "Любая матрица является матрицей некоторого линейного преобразования".

[Vladimir Pliassov]

Padawan в сообщении #1492674 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492609 писал(а):

Наверное, Вы имели в виду $\mathcal Ae'_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, $\mathcal Ae'_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j$, иначе получается тождественное преобразование.

Нет, я написал то, что и имел ввиду. Зачем штрих, что он обозначает? Какое тождественное преобразование? Для того чтобы задать линейный оператор необходимо и достаточно указать, в какие вектора перейдут базисные векторы. Я указал.

Если взять все $e$ нештрихованными:

$$\mathcal Ae_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, $\mathcal Ae_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j, -$$

то одни векторы базиса $e$ переходят в другие векторы этого же базиса, разве нет?

Вы такое преобразование базиса имели в виду?

-- 16.11.2020, 16:26 --

Xaositect в сообщении #1492677 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492675 писал(а):

Разумеется, это как бы в шутку, но все же формально, опираясь на определение

"матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов",

нельзя транспонировать эту матрицу, если на полученную в результате этого транспонирования матрицу смотреть как на матрицу преобразования.

Разумеется можно, просто это будет матрица другого преобразования. Если хотите, сразу после определения можно написать теорему: "Любая матрица является матрицей некоторого линейного преобразования".

Нет, Вы обратите внимание на то, что если транспонировать матрицу, составленную из координатных столбцов, то получится матрица, составленная из координатных строк.

(Разумеется, при этом на нее можно смотреть как на матрицу, состоящую из столбцов, которые можно считать координатными, но при этом матрицу все равно нельзя будет умножать на преобразуемый вектор (в матричном виде) слева, потому что не разрешены координатные строки, а мне именно это нужно.)

Я говорю о формальном моменте: ведь определение гласит, что

"матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов",

то есть она не может состоять из координатных строк.

Поэтому я и хотел бы изменить определение.

[Xaositect]

А, это проблемы нематематические, это Вы неправильно понимаете (неформальную!) фразу "матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов".
Не бывает матриц, которые не составлены из столбцов. Любая матрица имеет столбцы. И любая матрица составлена из своих столбцов.
Например, я могу рассмотреть матрицу $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$, составленную из столбцов $\begin{bmatrix}1 \\ 3\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}2 \\ 4\end{bmatrix}$. А если я ее транспонирую, я получу матрицу $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$, которая составлена из столбцов $\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}3 \\ 4\end{bmatrix}$.

-- Пн ноя 16, 2020 14:39:47 --

Формально, матрица - это отображение $I \times J \to F$, которое паре индексов сопоставляет скаляр. Иногда нам удобнее задавать это отображение следующим образом: для каждого индекса столбца $j \in J$ мы задаем столбец, т.е. задаем отображение $J \to F^I$. Такие оторажения взаимно однозначно соответствуют матрицам, и в большинстве контекстов различать матрицу как отображение $I \times J \to F$ и как отображение $J \to F^I$ доставляет только неудобство, поэтому неформально для перехода между двумя этими формами говорят, что матрица состоит из столбцов.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492675 писал(а):

А почему нельзя сказать: "умножать на координаты"?

А что это вообще такое? Матрицы можно умножать на другие матрицы подходящего размера (ну и еще на числа).

Vladimir Pliassov в сообщении #1492678 писал(а):

"матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов", то есть она не может состоять из координатных строк.

Это определение не до конца прописано - в нём есть зависимость от базиса и оператора, но она не выражена явна. Полное определение такое:

Padawan в сообщении #1492572 писал(а):

Матрица линейного преобразования $\mathcal A$ в базисе $e_1,\ldots,e_n$ - это такая матрица $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$, что

$$ \mathcal Ae_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i $$

И да, матрица $(a_{ij})^T$ уже в общем случае не будет матрицей линейного преобразования $A$ (она будет матрицей преобразования $A^*$, если базис ортонормирован).

[Padawan]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492678 писал(а):

Если взять все $e$ нештрихованными: $\mathcal Ae_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, $\mathcal Ae_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j$

то одни векторы базиса $e$ переходят в другие векторы этого же базиса, разве нет?

Нет. Вектор $e_1$ согласно первому из определений переходит в вектор $a_{11}e_1+a_{21}e_2+\ldots+a_{n1}e_n$.

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1492684 писал(а):

А, это проблемы нематематические, это Вы неправильно понимаете (неформальную!) фразу "матрицей линейного оператора (преобразования) называется квадратная матрица, составленная из координатных столбцов".
Не бывает матриц, которые не составлены из столбцов. Любая матрица имеет столбцы. И любая матрица составлена из своих столбцов.
Например, я могу рассмотреть матрицу $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$, составленную из столбцов $\begin{bmatrix}1 \\ 3\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}2 \\ 4\end{bmatrix}$. А если я ее транспонирую, я получу матрицу $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$, которая составлена из столбцов $\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}3 \\ 4\end{bmatrix}$.

Буквально за несколько секунд до получения Вашего сообщения я дописал в свое предыдущее (можете посмотреть):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492678 писал(а):

(Разумеется, при этом на нее можно смотреть как на матрицу, состоящую из столбцов, которые можно считать координатными, но при этом матрицу все равно нельзя будет умножать на преобразуемый вектор (в матричном виде) слева, потому что не разрешены координатные строки, а мне именно это нужно.)

-- 16.11.2020, 17:08 --

mihaild в сообщении #1492688 писал(а):

... матрица $(a_{ij})^T$ ... будет матрицей преобразования $A^*$, если базис ортонормирован).

Вы имели в виду ... матрица $(\overline a_{ij})^T$ ... ?

-- 16.11.2020, 17:28 --

Padawan в сообщении #1492690 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492678 писал(а):

Если взять все $e$ нештрихованными: $\mathcal Ae_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, $\mathcal Ae_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j$

то одни векторы базиса $e$ переходят в другие векторы этого же базиса, разве нет?

Нет. Вектор $e_1$ согласно первому из определений переходит в вектор $a_{11}e_1+a_{21}e_2+\ldots+a_{n 1}e_n$.

Виноват, спутал с разложением по базису.