Здесь имеется в виду, что исходная матрица это матрица преобразования

, а транспонированная матрица это матрица сопряженного преобразования

в вещественном пространстве.
Ну так у преобразования одна матрица (в данном базисе), чтобы найти координаты образа надо вектор-столбец в исходном базисе на неё векторно умножить, от матрицы это не зависит.
Есть функция

, сопоставляющая каждой паре

некоторое число

. Но это еще не матрица преобразования.
Одной функции

самой по себе недостаточно для определения линейного преобразования, нужно еще либо условие, что номер координаты преобразуемого вектора должен совпадать с первым индексом элемента

функции

, тогда это будет одно преобразование,
либо условие, что номер координаты должен совпадать со вторым индексом элемента

функции

, тогда это будет другое преобразование.
Но здесь и речи пока что не было о том, умножается ли матрица преобразования на столбец справа или на строку слева,
здесь не говорится о том, что матрица преобразования состоит из строк и столбцов, вообще не говорится о расположении ее элементов, так же как о расположении координат вектора, и элементы функции и координаты могут располагаться даже хаотично, суть в том, чтобы нужный элемент сочетался с нужной координатой, а как они расположены, неважно.
Но, если мы захотим, мы можем расположить элементы функции

в виде двухмерной матрицы-таблицы, а координаты вектора в виде одномерной матрицы-таблицы, и перемножать их по правилам перемножения матриц-таблиц, и тут уже мы сталкиваемся с тем, что имеется два варианта этой акции: можно умножить матрицу на столбец справа, а можно, транспонировав и матрицу, и столбец, умножить транспонированную матрицу на полученную строку слева, результат будет тот же.
Если Вы говорите, что надо умножить матрицу на вектор-столбец справа - то есть если Вы привязываете умножение матрицы преобразования на координаты преобразуемого вектора к расположению их элементов, - это значит, что под матрицей преобразования Вы понимаете не функцию

плюс условие соответствия, а матрицу-таблицу, а она - в отличие от матрицы "функция

плюс условие соответствия" - имеется не в одном, а в двух вариантах - исходном и транспонированном.