Что такое матрица линейного преобразования?

[Brukvalub]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492503 писал(а):

здесь не говорится о том, что матрица преобразования состоит из строк и столбцов, вообще не говорится о расположении ее элементов, так же как о расположении координат вектора, и элементы функции и координаты могут располагаться даже хаотично, суть в том, чтобы нужный элемент сочетался с нужной координатой, а как они расположены, неважно.

Ну и бред! Может, вам сначала почитать определение матрицы линейного оператора, а уж потом говорить, что там в нем не говорится?
Итак, дабы пресечь поток этого безумия, четко сформулирую свой вопрос, пользуясь своим правом ставить обязательные для ответа вопросы как ЗУ:
Выпишите ниже определение матрицы линейного преобразования, а уж потом будет видно, есть ли что тут обсуждать.

[Vladimir Pliassov]

Brukvalub в сообщении #1492520 писал(а):

Выпишите ниже определение матрицы линейного преобразования, а уж потом будет видно, есть ли что тут обсуждать.

Выписываю.

Цитата:

Матрицей линейного оператора (преобразования) $\mathcal A: \textbf V \rightarrow \textbf V$ в базисе $e_1, \ldots, e_n$ пространства $V$ называется квадратная матрица $A$, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов $\mathcal A(e_1), \ldots, \mathcal A(e _n)$, найденных относительно базиса $e_1, \ldots, e_n.$ http://mathhelpplanet.com/static.php?p= ... razovaniya

то есть матрица

$$A=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}.\eqno{(1)}$$

Таким образом, чтобы в матричной форме получить преобразование $\textbf A\textbf x=\textbf y$, надо умножить матрицу $A$ на вектор-столбец $x$ справа:

$$Ax=y.\eqno{(2)}$$

Однако можно предложить альтернативное определение.

Матрицей линейного оператора (преобразования) $\textbf A: \textbf V \rightarrow \textbf V$ в базисе $e_1, \ldots, e_n$ пространства $V$ называется квадратная матрица $A$, составленная из координатных СТРОК образов базисных векторов $\textbf A(e_1), \ldots, \textbf A(e _n)$, найденных относительно базиса $e_1, \ldots, e_n,$

то есть матрица

$$A^T=\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}. \eqno {(3)}$$

Таким образом, чтобы в матричной форме получить преобразование $\textbf A\textbf x=\textbf y$, надо умножить матрицу $A^T$ на вектор-строку $x^T$ слева:

$$x^TA^T=y^T.\eqno{(4)}$$

Поскольку равенству $\textbf A\textbf x=\textbf y$ соответствует как равенство (2), так и равенство (4), первое определение (также как и второе) носит случайный характер.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492541 писал(а):

первое определение (также как и второе) носит случайный характер

Безусловно. Точно так же как то, что вычитание левоассоциативно - случайный характер. И какая ориентация левая, а какая правая - тоже. Из этого не следует, что нам нужно срочно везде начать рассматривать оба варианта определений, можно зафискировать один.

[Brukvalub]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492541 писал(а):

Однако можно предложить альтернативное определение.

Зачем? Кому оно нужно? Чтобы исписать здесь 4 стр. пустопорожних рассуждений? Десятки тысяч студентов выучили линал, пользуясь традиционным определением, и многие из них стали отличными специалистами.
Если вам что-то непонятно в традиционном определении, то укажите явно, что именно непонятно, и я вам все разъясню.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492544 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492541 писал(а):

первое определение (также как и второе) носит случайный характер

Безусловно. Точно так же как то, что вычитание левоассоциативно - случайный характер. И какая ориентация левая, а какая правая - тоже. Из этого не следует, что нам нужно срочно везде начать рассматривать оба варианта определений, можно зафиксировать один.

Конечно, из этих двух определений можно зафиксировать одно, и оно зафиксировано, и пусть будет зафиксировано, хотя следует отдавать себе отчет в том, что оно случайное.

Но мне кажется, можно предложить третье определение, которое не носит случайного характера -

линейное преобразование определяется функцией $a$, которая сопоставляет на множестве $I\times J$ каждой паре $(i, j)$ некоторое число $a_{i j}$ вместе с одним из условий:

либо номер координаты преобразуемого вектора совпадает со вторым индексом элемента $a_{ij}$ функции $a$ - тогда это одно преобразование,

либо номер координаты совпадает с первым индексом элемента $a_{ij}$ функции $a$ - тогда это другое преобразование.

Конечно из соображений практичности можно в соответствии с этим определением умножать матрицы $A$, $A^T$ на столбец координат преобразуемого вектора справа, как это и делается, но иногда - и тоже из соображений практичности, - можно вместо этого умножать эти же матрицы, но транспонированные, на строку координат преобразуемого вектора слева.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492557 писал(а):

линейное преобразование определяется функцией $a$

Не-не-не, линейное преобразование прекрасно чувствует себя вообще без базиса.

Vladimir Pliassov в сообщении #1492557 писал(а):

вместе с одним из условий

Дальше можно назвать первый вариант "матрицей", а второй "матрицей по Vladimir Pliassov". И пытаться кого-то убедить, что матрицы по Vladimir Pliassov зачем-то нужны - но я подозреваю, что не получится.

Вы как-то пропустили пункт про вычитание. Давайте введем два вычитания - кроме стандартного добавим еще $-'$, определенное правилом $a -' b = b - a$. Ну и заодно стрекли $\leftarrow$ и $\rightarrow$ давайте разрешим друг на друга заменять, с указанием.

Нет ничего плохого в том, чтобы зафиксировать произвольным образом один из нескольких способов.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492560 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492557 писал(а):

линейное преобразование определяется функцией $a$

Не-не-не, линейное преобразование прекрасно чувствует себя вообще без базиса.

Да, это я не подумал. Но можно скорректировать: в выбранном базисе и так далее, - ведь и определение матрицы преобразования дается для выбранного базиса.

А вот с остальным ... Во всяком случае, если выбрать один из двух равноценных вариантов, то выбор будет носить случайный характер, а если указать оба, то случайного характера не будет, потому что будут указаны все возможные варианты - их всего два, но ... надо подумать.

[Padawan]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492563 писал(а):

их всего два

Да, два.
Первое определение. Матрица линейного преобразования $\mathcal A$ в базисе $e_1,\ldots,e_n$ - это такая матрица $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$, что

$$ \mathcal Ae_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i $$

Второе определение. Матрица линейного преобразования $\mathcal A$ в базисе $e_1,\ldots,e_n$ - это такая матрица $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$, что

$$ \mathcal Ae_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j $$

Если первый индекс у $a_{ij}$ мы будем интерпретировать как номер строки, то в первом определении координаты образов базисных векторов записываются в столбцы, а во втором определении -- в строки. Но можно про это вообще не думать. Определение имеет смысл без интерпретации матрицы в виде таблицы.

-- Пн ноя 16, 2020 07:57:54 --

Например, в учебнике Куроша "Курс высшей алгебры" принято второе определение. Но у него и значение оператора $\mathcal A$ на векторе $v$ обозначается $v\mathcal A$ и в координатах это выглядит как умножение вектора-строки на матрицу.

[Brukvalub]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492563 писал(а):

А вот с остальным ... Во всяком случае, если выбрать один из двух равноценных вариантов, то выбор будет носить случайный характер, а если указать оба, то случайного характера не будет, потому что будут указаны все возможные варианты - их всего два, но ... надо подумать.

Математики уже давно сделали выбор определения матрицы линейного оператора, и мир не рухнул. Так что все эти огороды напрасны.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492557 писал(а):

Но мне кажется, можно предложить третье определение, которое не носит случайного характера -

линейное преобразование определяется функцией $a$, которая сопоставляет на множестве $I\times J$ каждой паре $(i, j)$ некоторое число $a_{i j}$ вместе с одним из условий

Что ж Вас не отпустит никак?

Определив функцию двух натуральных переменных, Вы уже определили матрицу. Не стоит мучиться вопросом, нумерует ли первая переменная строки или столбцы, это всего лишь вопрос соглашения. А то в следующий раз Вы начнёте мучиться вопросом, какую из переменных функции считать "первой": Ту, которая пишется справа, или ту, которая пишется слева.

Ибо любые определения "случайные".

[Vladimir Pliassov]

Padawan в сообщении #1492572 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492563 писал(а):

их всего два

Да, два.
Первое определение. Матрица линейного преобразования $\mathcal A$ в базисе $e_1,\ldots,e_n$ - это такая матрица $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$, что

$$ \mathcal Ae_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i $$

Второе определение. Матрица линейного преобразования $\mathcal A$ в базисе $e_1,\ldots,e_n$ - это такая матрица $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n$, что

$$ \mathcal Ae_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j $$

Наверное, Вы имели в виду $\mathcal Ae'_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, $\mathcal Ae'_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j$, иначе получается тождественное преобразование.

Padawan в сообщении #1492572 писал(а):

Если первый индекс у $a_{ij}$ мы будем интерпретировать как номер строки, то в первом определении координаты образов базисных векторов записываются в столбцы, а во втором определении -- в строки. Но можно про это вообще не думать. Определение имеет смысл без интерпретации матрицы в виде таблицы.

Да, конечно, определение имеет смысл без интерпретации матрицы в виде таблицы (если под матрицей понимать функцию $a$, и тогда лучше сказать "без расположения элементов функции в виде таблицы"), но тогда это будет определение не преобразования, а только его функции $a$. Я сначала тоже думал как Вы, но потом написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1492254 писал(а):

Однако то, что я называл функцией преобразования то, что обычно называется матрицей преобразования, было неправильно:

одной функции $a$ самой по себе недостаточно для определения линейного преобразования, нужно еще либо условие, что координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{11}$, координата $\xi_2$ с элементом $a_{21},$ и так далее, затем координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{12}$, координата $\xi_2$ с элементом $a_{22},$ и так далее, то есть номер координаты должен совпадать с первым индексом элемента функции $a$,

либо условие, что координата $\eta_1$ перемножается с элементом $a_{11}$, координата $\eta_2$ с элементом $a_{12},$ и так далее, то есть номер координаты должен совпадать со вторым индексом элемента функции $a$.

(Я взял для второго условия другой вектор - вектор $\textbf y$.)

Одно из этих условий можно задать, если расположить элементы функции в виде двухмерной матрицы (причем это можно сделать двумя способами) и при этом положить, с какой стороны должно совершаться умножение матрицы на координаты преобразуемого вектора - справа или слева, - обычно полагается, что справа, и тогда выбирается второе условие.

Padawan в сообщении #1492572 писал(а):

Например, в учебнике Куроша "Курс высшей алгебры" принято второе определение. Но у него и значение оператора $\mathcal A$ на векторе $v$ обозначается $v\mathcal A$ и в координатах это выглядит как умножение вектора-строки на матрицу.

Да, и nnosipov писал об этом:

nnosipov в сообщении #1489912 писал(а):

Обозначение образа вектора при линейном преобразовании, где аргумент слева, а оператор справа, встречается в "Курсе высшей алгебры" Куроша.

в комментарии к моему topic143328.html - я там предлагал обозначать преобразование не только как $\textbf A\textbf x$, но и как $\textbf x\textbf A$, в зависимости от ситуации. (Это сообщение изобилует оплошностями, которые я допустил по незнанию элементарных вещей.)

-- 16.11.2020, 11:18 --

Brukvalub в сообщении #1492590 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492563 писал(а):

А вот с остальным ... Во всяком случае, если выбрать один из двух равноценных вариантов, то выбор будет носить случайный характер, а если указать оба, то случайного характера не будет, потому что будут указаны все возможные варианты - их всего два, но ... надо подумать.

Математики уже давно сделали выбор определения матрицы линейного оператора, и мир не рухнул. Так что все эти огороды напрасны.

Конечно, сделали выбор, и преобразуют векторы, но выбор этот был произвольный, и хотелось бы разобраться в том, какие были альтернативы. Зачем? Любые знания, кроме того, что сами по себе интересны, могут еще и помочь добыть другие знания.

-- 16.11.2020, 11:27 --

epros в сообщении #1492601 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492557 писал(а):

Но мне кажется, можно предложить третье определение, которое не носит случайного характера -

линейное преобразование определяется функцией $a$, которая сопоставляет на множестве $I\times J$ каждой паре $(i, j)$ некоторое число $a_{i j}$ вместе с одним из условий

Что ж Вас не отпустит никак?

Определив функцию двух натуральных переменных, Вы уже определили матрицу.

Нет, можете почитать об этом в моем комментарии на несколько абзацев выше.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492609 писал(а):

и хотелось бы разобраться в том, какие были альтернативы

Не страдайте ерундой. Не имеет значения в каком порядке выписываются коэффициенты преобразования: Сначала строки потом столбцы или наоборот, справа налево и снизу вверх или сверху вниз и слева направо. Мы просто договариваемся об одном каком-то порядке и всё.

Четырёх страниц бессмыслицы уже более чем достаточно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492560 писал(а):

Нет ничего плохого в том, чтобы зафиксировать произвольным образом один из нескольких способов.

Да, видимо, придется.

Но тут юридическая сторона.

Если принять закон, что

Цитата:

матрицей линейного оператора (преобразования) $\mathcal A: \textbf V \rightarrow \textbf V$ в базисе $e_1, \ldots, e_n$ пространства $V$ называется квадратная матрица $A$, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов $\mathcal A(e_1), \ldots, \mathcal A(e _n)$, найденных относительно базиса $e_1, \ldots, e_n,$

то умножать матрицу на координаты вектора можно только справа, а слева нельзя, поскольку ее нельзя транспонировать, потому что при ее транспонировании она окажется составленной из координатных строк, а не столбцов, что законом запрещено.

Если же принять формулировку:

в выбранном базисе линейное преобразование определяется функцией $a$, которая сопоставляет на множестве $I\times J$ каждой паре $(i, j)$ некоторое число $a_{i j}$, вместе с условием, что номер координаты преобразуемого вектора совпадает со вторым индексом элемента $a_{ij}$ функции $a$,

то, расположив элементы функции в виде матрицы, умножать эту матрицу на координаты вектора можно и справа, и слева, поскольку ее не запрещено транспонировать - в законе не сказано ни о строках, ни о столбцах, значит, она может быть составленной как из координатных столбцов, так и из координатных строк.

Зачем я хочу протащить этот закон?

Чтобы иметь возможность без нареканий при преобразованиях умножать матрицу на координаты вектора справа или слева по своему усмотрению.

Например, в случаях, подобных описанному в topic143544.html .

Приведу небольшую выдержку оттуда.

Vladimir Pliassov в сообщении #1492038 писал(а):

При получении полуторалинейной (билинейной) формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$ (см. формулу (1)) ее матрица $A$ умножается на вектор-строку $x^T$ слева и на вектор-столбец $\overline y$ справа, поэтому, если в рассмотрении преобразований $\textbf A, \textbf A^*$ исходить из полуторалинейной (билинейной) формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, то естественно, чтобы преобразование $\textbf A$ представлялось как умножение матрицы $A$ на вектор-строку $x^T$ слева, а преобразование $\textbf A^*$ - как умножение матрицы $\overline A$ (то есть матрицы $A^*$) на вектор-столбец $y$ справа.

Ну, вот теперь с определением, кажется, все, не считая того, что как-то надо назвать то, что определяет линейное преобразование в базисе, то есть "функцию $+$ условие соответствия".

Термин "матрица", по-моему, для этого мало подходит.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492664 писал(а):

то умножать матрицу на координаты вектора можно только справа, а слева нельзя

"На координаты" умножать в любом случае нельзя. Можно умножать на вектор-столбец справа и на вектор-строку слева. Просто при умножении на вектор-столбец справа получится вектор-столбец, соответствующий образу линейного преобразования, а при умножении слева на вектор-строку - не получится. Ну никто и не обещал, что получится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1492664 писал(а):

потому что при ее транспонировании она окажется составленной из координатных строк, а не столбцов, что законом запрещено

Транспонирование матрицы - функция. Просто транспонированная матрица уже не будет матрицей исходного линейного преобразования. Ну и ладно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1492664 писал(а):

Чтобы иметь возможность без нареканий при преобразованиях умножать матрицу на координаты вектора справа или слева по своему усмотрению.

А что мешает вам сейчас умножать транспонированную матрицу?

[Padawan]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492609 писал(а):

Наверное, Вы имели в виду $\mathcal Ae'_j=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i$, $\mathcal Ae'_i=\sum_{j=1}^na_{ij}e_j$, иначе получается тождественное преобразование.

Нет, я написал то, что и имел ввиду. Зачем штрих, что он обозначает? Какое тождественное преобразование? Для того чтобы задать линейный оператор необходимо и достаточно указать, в какие вектора перейдут базисные векторы. Я указал.