Что такое матрица линейного преобразования?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491940 писал(а):

как с помощью разноуровневых индексов можно указать, что элемент $a_{21}$, который равен тому, чему он равен, независимо от места в матрице, занимает в ней место $12$

С помощью одноуровневых индексов: $b_{12}=a_{21}$.
Vladimir Pliassov, в чём Ваши проблемы?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1491986 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491940 писал(а):

как с помощью разноуровневых индексов можно указать, что элемент $a_{21}$, который равен тому, чему он равен, независимо от места в матрице, занимает в ней место $12$

С помощью одноуровневых индексов: $b_{12}=a_{21}$.
Vladimir Pliassov, в чём Ваши проблемы?

Спасибо, понятно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491521 писал(а):

Откровенно говоря, пока что выглядит как запутывание обозначений и много переливаний из пустого в порожнее вокруг несложного факта $(AB)^T = B^TA^T$.

Кажется, недоразумение разъяснилось, по крайней мере, с моей стороны.

Суть в том, что, как при перемножении

$$\begin {pmatrix} \xi_1&\xi_2&\ldots&\xi_n \end {pmatrix} \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1 n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2 n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix},\eqno{(1)}$$

так и при перемножении

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}\begin {pmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \ldots\\ \xi_n \end {pmatrix} \eqno {(2)}$$

координата $\xi_2$ вектора $\textbf x$ перемножается с элементом $a_{21}$ (а не с элементом $a_{12}$).

Поэтому, если называть матрицей преобразования совокупность элементов $(a_{ij})$, при том, что координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{11}$, координата $\xi_2$ с элементом $a_{21},$ и так далее, то, разумеется, у преобразования есть только одна матрица.

(Я называл ее функцией преобразования, а матрицей преобразования называл расположение ее элементов в виде матрицы, и, поскольку матрица может транспонироваться, получалось, что у преобразования две матрицы.)

[Vladimir Pliassov]

Однако то, что я называл функцией преобразования то, что обычно называется матрицей преобразования, было неправильно:

одной функции $a$ самой по себе недостаточно для определения линейного преобразования, нужно еще либо условие, что координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{11}$, координата $\xi_2$ с элементом $a_{21},$ и так далее, затем координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{12}$, координата $\xi_2$ с элементом $a_{22},$ и так далее, то есть номер координаты должен совпадать с первым индексом элемента функции $a$,

либо условие, что координата $\eta_1$ перемножается с элементом $a_{11}$, координата $\eta_2$ с элементом $a_{12},$ и так далее, то есть номер координаты должен совпадать со вторым индексом элемента функции $a$.

(Я взял для второго условия другой вектор - вектор $\textbf y$.)

Функция с одним из этих условий есть то, что называют обычно матрицей преобразования.

(Если вместо одного условия берется другое, говорят, что матрица преобразования транспонируется.)

Но функция с первым из этих условий соответствует как записи

$$\begin {pmatrix} \xi_1&\xi_2&\ldots&\xi_n \end {pmatrix} \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1 n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2 n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix},\eqno{(1)}$$

так и записи

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}\begin {pmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \ldots\\ \xi_n \end {pmatrix}, \eqno {(2)}$$

а функция со вторым из этих условий соответствует как записи

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1 n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2 n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \ldots\\ \eta_n \end {pmatrix}, \eqno {(3)}$$

так и записи

$$\begin {pmatrix} \eta_1&\eta_2&\ldots&\eta_n \end {pmatrix} \begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}. \eqno {(4)}$$

Поэтому выбор между (1) и (2), так же как и выбор между (3) и (4), может быть свободным.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492254 писал(а):

нужно еще либо условие, что координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{11}$

Это определение матричного умножения. Оно не зависит от конкретной матрицы.

[provincialka]

Vladimir Pliassov
Честно говоря, я просто отшутилась. Не собиралась серьезно обсуждать вопрос, который определяется просто произвольным соглашением. Как и расположение номера строки сверху или снизу. Давайте ещё подискутируем, почему векторное произведение определяется правой тройкой, а не левой.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492274 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492254 писал(а):

нужно еще либо условие, что координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{11}$

Это определение матричного умножения. Оно не зависит от конкретной матрицы.

Именно то, что "координата $\xi_1$ перемножается с элементом $a_{11}$", конечно не зависит от конкретной матрицы.

Но, если продлить эту цитату, там дальше стоит: "координата $\xi_2$ с элементом $a_{21},$," - а это уже зависит от конкретной матрицы - то есть от одной из двух, всего мы можем выбирать из двух матриц: исходной и ее транспонированной.

"... координата $\xi_2$ с элементом $a_{21},$ ..." - это условие, берущееся вместе с функцией $a$.

Функция $+$ условие $=$ матрица преобразования.

Другое условие: "... координата $\eta_2$ с элементом $a_{12} ... - другая матрица и другое преобразование.

Я здесь под словом "матрица" имею в виду то, что обычно имеется в виду под матрицей преобразования.

Но функция $a$ с первым из указанных условий соответствует как записи (1), так и записи (2),

а функция $a$ со вторым из этих условий соответствует как записи (3), так и записи (4)

(Вы можете посмотреть, это немного выше по комментариям).

(1), (2), (3), (4) это уже другие матрицы, потому что на матрицу каждого из двух преобразований приходится по две из них.

Их можно назвать матрицами-таблицами, в отличие от матриц преобразований.

-- 14.11.2020, 22:51 --

provincialka в сообщении #1492299 писал(а):

Vladimir Pliassov
Честно говоря, я просто отшутилась. Не собиралась серьезно обсуждать вопрос, который определяется просто произвольным соглашением. Как и расположение номера строки сверху или снизу. Давайте ещё подискутируем, почему векторное произведение определяется правой тройкой, а не левой.

Люблю юмор! )

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492316 писал(а):

а это уже зависит от конкретной матрицы - то есть от одной из двух, всего мы можем выбирать из двух матриц: исходной и ее транспонированной

Я всё еще не понимаю, почему вы так упорно хотите назвать транспонированную матрицу тоже матрицей преобразования.
Какую из двух матриц называть матрицей преобразования - неважно. Важно, чтобы она была одна (и чтобы этот выбор согласовывался с матричным умножением и что там еще понадобится).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492349 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492316 писал(а):

а это уже зависит от конкретной матрицы - то есть от одной из двух, всего мы можем выбирать из двух матриц: исходной и ее транспонированной

Я всё еще не понимаю, почему вы так упорно хотите назвать транспонированную матрицу тоже матрицей преобразования.
Какую из двух матриц называть матрицей преобразования - неважно. Важно, чтобы она была одна (и чтобы этот выбор согласовывался с матричным умножением и что там еще понадобится).

Здесь имеется в виду, что исходная матрица это матрица преобразования $\textbf A$, а транспонированная матрица это матрица сопряженного преобразования $\textbf A^*$ в вещественном пространстве.

Чтобы получить матрицу сопряженного преобразования $\textbf A^*$ в комплексном пространстве. надо вместо функции $a$ взять функцию, которую можно обозначить $\overline a$: элементы функции $\overline a$ комплексно сопряжены с соответствующими элементами функции $a$.

[Brukvalub]

Беда в том, что понятие сопряженного оператора требует наличия в векторном пространстве скалярного произведения. Более того, транспонирование отвечает матрице сопряженного оператора только в ортонормированном базисе. А традиционное понятие матрицы линейного оператора не требует всех этих огородов и определяется в произвольном базисе, чем оно и удобно.
Так зачем все это тут наворочено на 3-х страницах, если и раньше все было предельно прозрачно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492376 писал(а):

Здесь имеется в виду, что исходная матрица это матрица преобразования $\textbf A$, а транспонированная матрица это матрица сопряженного преобразования $\textbf A^*$ в вещественном пространстве.

Ну так у преобразования одна матрица (в данном базисе), чтобы найти координаты образа надо вектор-столбец в исходном базисе на неё векторно умножить, от матрицы это не зависит.

[Padawan]

Brukvalub в сообщении #1492381 писал(а):

Беда в том, что понятие сопряженного оператора требует наличия в векторном пространстве скалярного произведения

Почему? Можно записать матрицу сопряжённого оператора $A^*\colon Y^*\to X^*$ в базисах, дуальных к базисам, в которых записана матрица оператора $A$.

[Brukvalub]

Это так, но это будет матрица оператора, действующего на другом векторном пространстве. Как я понял из темы (хотя и сомневаюсь, что в ней можно хоть что-то понять), речь идет о сопряженное операторе, действующем на том же пространстве.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1492389 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1492376 писал(а):

Здесь имеется в виду, что исходная матрица это матрица преобразования $\textbf A$, а транспонированная матрица это матрица сопряженного преобразования $\textbf A^*$ в вещественном пространстве.

Ну так у преобразования одна матрица (в данном базисе), чтобы найти координаты образа надо вектор-столбец в исходном базисе на неё векторно умножить, от матрицы это не зависит.

Есть функция $a$, сопоставляющая каждой паре $i, j$ некоторое число $a_{ij}$. Но это еще не матрица преобразования.

Одной функции $a$ самой по себе недостаточно для определения линейного преобразования, нужно еще либо условие, что номер координаты преобразуемого вектора должен совпадать с первым индексом элемента $a_{ij}$ функции $a$, тогда это будет одно преобразование,

либо условие, что номер координаты должен совпадать со вторым индексом элемента $a_{ij}$ функции $a$, тогда это будет другое преобразование.

Но здесь и речи пока что не было о том, умножается ли матрица преобразования на столбец справа или на строку слева,

здесь не говорится о том, что матрица преобразования состоит из строк и столбцов, вообще не говорится о расположении ее элементов, так же как о расположении координат вектора, и элементы функции и координаты могут располагаться даже хаотично, суть в том, чтобы нужный элемент сочетался с нужной координатой, а как они расположены, неважно.

Но, если мы захотим, мы можем расположить элементы функции $a$ в виде двухмерной матрицы-таблицы, а координаты вектора в виде одномерной матрицы-таблицы, и перемножать их по правилам перемножения матриц-таблиц, и тут уже мы сталкиваемся с тем, что имеется два варианта этой акции: можно умножить матрицу на столбец справа, а можно, транспонировав и матрицу, и столбец, умножить транспонированную матрицу на полученную строку слева, результат будет тот же.

Если Вы говорите, что надо умножить матрицу на вектор-столбец справа - то есть если Вы привязываете умножение матрицы преобразования на координаты преобразуемого вектора к расположению их элементов, - это значит, что под матрицей преобразования Вы понимаете не функцию $a$ плюс условие соответствия, а матрицу-таблицу, а она - в отличие от матрицы "функция $a$ плюс условие соответствия" - имеется не в одном, а в двух вариантах - исходном и транспонированном.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1492503 писал(а):

Есть функция $a$, сопоставляющая каждой паре $i, j$ некоторое число $a_{ij}$. Но это еще не матрица преобразования.

Сколько ещё будет продолжаться эта бессмысленная тема?