Что такое матрица линейного преобразования?

[bot]

vpb в сообщении #1491591 писал(а):

верно, что матрицу можно рассматривать как функцию

Ага, это скользящий взгляд сбоку. Где он может облегчать жизнь?

[mihaild]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1491605 писал(а):

Где он может облегчать жизнь?

Он облегчает жизнь людям вроде меня, которые не могут работать с не определенными строго объектами (да и с нестрого так себе могут).

[kmpl]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov
По поводу определения матрицы можете посмотреть тему topic126552.html. В частности, обратите внимание на сообщение mihaild:

mihaild в сообщении #1307651 писал(а):

1. Матрица - это кортеж $(I, J, X, f)$, где $I, J, X$ - произвольные множества, $f$ - функция из $I \times J \to X$.
2. Если $A = (I, J, X, f)$ - матрица, то $I$ называется множеством строчных индексов $A$.
3..$n$. Фразы, аналогичные 2 для столбцовых индексов, элементов на позициях и т.д.

[artempalkin]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1491605 писал(а):

Он облегчает жизнь людям вроде меня, которые не могут работать с не определенными строго объектами (да и с нестрого так себе могут).

А как вы работаете со множествами тогда? :) "Мыши плакали, кололись, но продолжали грызть кактус"? :)

[Vladimir Pliassov]

vpb в сообщении #1491591 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491490 писал(а):

Назовем $a_{i j}$ общим выражением элемента функции $a$.

Формально говоря, конечно, верно, что матрицу можно рассматривать как функцию. Только, боюсь, если это сказать детям 17--18-ти лет, случится мгновенный обморок головы.

Я думаю, что, если дети усвоят, что элемент $a_{i j}$ функции $a$ это функция $a$ от пары $(i, j)$, то им будет понятен следующий образ действий.

Возьмем квадратную матрицу порядка $n$ и матрицу-столбец того же порядка. Ячейки обеих матриц пусты, но пронумерованы. В ячейки матриц можно поместить элементы любой природы.

Расположим матрицу-столбец справа от квадратной матрицы.

Поместим в ячейки квадратной матрицы соответствующие элементы функции $a$, а в ячейки матрицы-столбца координаты некоторого вектора $\textbf x$.

Назовем квадратную матрицу с помещенными в ее ячейках элементами функции $a$ матрицей функции $a$, обозначим ее $A$.

Назовем матрицу-столбец с помещенными в ее ячейках координатами вектора $\textbf x$ вектором-столбцом вектора $\textbf x$, обозначим его $x$.

Умножим матрицу $A$ на вектор-столбец $x$ справа, получим вектор-столбец, который обозначим $y$.

Элементы вектора-столбца $y$ являются координатами некоторого вектора, который обозначим $\textbf y$.

Таким образом, мы совершили преобразование вектора-прообраза $\textbf x$, в результате которого получили вектор-образ $\textbf y$.

Обозначим совершенное преобразование $\textbf A$.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491661 писал(а):

Ячейки обеих матриц пусты, но пронумерованы. В ячейки матриц можно поместить элементы любой природы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491661 писал(а):

Назовем квадратную матрицу с помещенными в ее ячейках элементами функции $a$ матрицей функции $a$, обозначим ее $A$.

Назовем матрицу-столбец с помещенными в ее ячейках координатами вектора $\textbf x$ вектором-столбцом вектора $\textbf x$, обозначим его $x$.

Не понял этой дурацкой философии. Зачем нам пустые матрицы, в которые потом нужно что-то "помещать"? Матрица - это и есть таблица, уже заполненная некими элементами.

[mihaild]

(Оффтоп)

artempalkin в сообщении #1491656 писал(а):

А как вы работаете со множествами тогда?

1) вы промазали с цитированием
2) с трудом, я очень страдаю из-за необходимости начинать с чего-то неформального; неопределяемость множеств и некоторых операций со строками тяжело ранит мою нежную душу, а добавление к этому еще чего-то неопределяемого делает совсем плохо

Vladimir Pliassov в сообщении #1491661 писал(а):

то им будет понятен следующий образ действий

Про детей не знаю, но мне этот образ точно непонятент.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1491667 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491661 писал(а):

Ячейки обеих матриц пусты, но пронумерованы. В ячейки матриц можно поместить элементы любой природы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491661 писал(а):

Назовем квадратную матрицу с помещенными в ее ячейках элементами функции $a$ матрицей функции $a$, обозначим ее $A$.

Назовем матрицу-столбец с помещенными в ее ячейках координатами вектора $\textbf x$ вектором-столбцом вектора $\textbf x$, обозначим его $x$.

Не понял этой дурацкой философии. Зачем нам пустые матрицы, в которые потом нужно что-то "помещать"? Матрица - это и есть таблица, уже заполненная некими элементами.

Имеется в виду, что функция может транспонироваться независимо от матрицы, а матрица может транспонироваться независимо от функции.

То есть, когда матрица транспонируется, функция может оставаться нетранспонированной, и наоборот.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491684 писал(а):

Имеется в виду, что функция может транспонироваться независимо от матрицы, а матрица может транспонироваться независимо от функции.

И получается, что "матрица-таблица" вместо способа записи становится каким-то самостоятельным объектом, который не получается определить и который как-то нетривиально соотносится с нормальными "матрицами-функциями". Зачем это нужно?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491684 писал(а):

Имеется в виду, что функция может транспонироваться независимо от матрицы, а матрица может транспонироваться независимо от функции.

То есть, когда матрица транспонируется, функция может оставаться нетранспонированной, и наоборот.

Это как-то связано с тем, что я спросил?
Конечно, матрицу можно интерпретировать как функцию двух натуральных аргументов. Конечно, её можно транспонировать независимо от того, как мы её назовём.
Вопрос только в том, есть ли в этом потоке слов какой-то смысл?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1491686 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491684 писал(а):

Имеется в виду, что функция может транспонироваться независимо от матрицы, а матрица может транспонироваться независимо от функции.

И получается, что "матрица-таблица" ... становится каким-то самостоятельным объектом ... Зачем это нужно?

В моем понимании это реальность. Функция и матрица, в виде которой она расположена, это два объекта, которые не обязательно связаны друг с другом, а если связаны, то могут быть связаны таким образом, что когда один из них транспонируется, второй не обязан транспонироваться. Когда матрица

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}\eqno{(1)}$$

заменяется на матрицу

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}, \eqno {(4)}$$

меняется расположение элементов $a_{i j}$ функции $a$ в матрице, но сами элементы не меняются. То есть матрица транспонируется, а функция нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1491684 писал(а):

Назовем транспонированием функции $a$ замену ее на функцию $a'$, $a'(i, j)=a(j, i)$

Любой элемент функции может стоять на любом месте в матрице $^*$, его сущность - то есть значение функции $a$ от пары $(i, j)$ - не зависит от места, которое он занимает.

($^*$ Если нет противоречия с условием относительно расположения элементов в матрице.)

Что касается функции $a$ самой по себе, то расположение ее элементов не имеет к ней никакого отношения, оно является для нее чисто внешним и может быть совершенно произвольным, то есть даже хаотичным.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1491720 писал(а):

Функция и матрица, в виде которой она расположена, это два объекта, которые не обязательно связаны друг с другом, а если связаны, то могут быть связаны таким образом, что когда один из них транспонируется, второй не обязан транспонироваться

Вопрос, зачем это нужно, остается. Обычно от способа записи требуется, чтобы по нему можно было однозначно восстановить математический объект - то есть чтобы нельзя было два разных объекта записать одним и тем же способом. Предлагаемый вами способ этим достоинством не обладает, в связи с чем его применимость вызывает у меня вопросы.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1491690 писал(а):

Это как-то связано с тем, что я спросил?

Если хотите, можете посмотреть мой ответ mihaild (я думаю, это через одно сообщение-комментарий выше). Может быть, это связано?

-- 11.11.2020, 19:48 --

mihaild в сообщении #1491721 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1491720 писал(а):

Функция и матрица, в виде которой она расположена, это два объекта, которые не обязательно связаны друг с другом, а если связаны, то могут быть связаны таким образом, что когда один из них транспонируется, второй не обязан транспонироваться

Обычно от способа записи требуется, чтобы по нему можно было однозначно восстановить математический объект - то есть чтобы нельзя было два разных объекта записать одним и тем же способом. Предлагаемый вами способ этим достоинством не обладает

Обладает, просто надо задать функцию и указать, в виде какой матрицы она должна быть расположена.

Затем, если это делается для того, чтобы произвести преобразование, указывается, с какой стороны умножать полученную матрицу, элементами которой являются элементы функции, на вектор в матричной форме.

Так что однозначность налицо. Разве нет?

[provincialka]

Vladimir Pliassov
Просто пишите индексы на разной высоте, верхний -- номер строки, нижний -- номер столбца. Может, желание транспонировать у вас пропадет.

Потому что поднимание-опускание индексов требует метрики (дважды ковариантного тензора)

И вообще, как у вас с тензорами?

[Vladimir Pliassov]

provincialka в сообщении #1491919 писал(а):

Vladimir Pliassov
Просто пишите индексы на разной высоте, верхний -- номер строки, нижний -- номер столбца. Может, желание транспонировать у вас пропадет.

Потому что поднимание-опускание индексов требует метрики (дважды ковариантного тензора)

И вообще, как у вас с тензорами?

Спасибо.

С тензорами - в процессе.

Не могли бы Вы на примере

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n 1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n 2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1 n}&a_{2 n}&\ldots&a_{n n} \end {pmatrix}\eqno{(1)}$$

показать, как с помощью разноуровневых индексов можно указать, что элемент $a_{21}$, который равен тому, чему он равен, независимо от места в матрице, занимает в ней место $12$ (хотя мог бы занимать другое, например, $21$, как здесь:

$$\begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}\eqno{(2)}$$

?