Задача теплопроводности - поток тепла от двух переменных

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1491049 писал(а):

Babeuf в сообщении #1491006 писал(а):

У меня вопрос: а какие вообще есть эффективные, с точки зрения машинного времени, алгоритмы реконструкции теплового потока,

Ну, для данного случая есть аналитическая формула для решения. Так что, если заменить интеграл на сумму, ответ вычисляется как сумма с весами от исходных данных. Куда уж проще

Возможно Вы правы, и этой действительно весьма просто, только пока я не смог найти фундаментальное решение уравнения теплопроводности для двух переменных (чтобы удостовериться: правильно ли я его записал) в анизотропном случае (когда $K_x$ и $K_y$ — различны).
Не могли бы Вы уточнить, правильно ли я понимаю, что это должна быть функция Грина от $(x,y,t)$.
То есть в Вашем обозначении $Z(x,y,t)$, примерно так:

$Z(x,y,t)=H(t) (\frac {1} {4 \pi \alpha_x \alpha_y} ) \exp(-{\frac {1} {4t}} (\frac {x^2} {\alpha_x} + \frac {y^2} {\alpha_y}))$,

где соответственно $H(t)$ — Функция Хевисайда, $\alpha_x$ — температуропроводность вдоль OX, $\alpha_y$ — температуропроводность вдоль OY?

[Vince Diesel]

Для уравнения $u_t=\alpha_x u_{xx}+\alpha_y u_{yy}$ будет $Z(x,y,t)=H(t) \frac {1} {4 \pi t\sqrt{\alpha_x \alpha_y}} \exp(-{\frac {1} {4t}} (\frac {x^2} {\alpha_x} + \frac {y^2} {\alpha_y}))$. Еще можно сказать, что это ф.р. равно произведению ф.р. для уравнений $u_t=\alpha_x u_{xx}$ и $u_t=\alpha_y u_{yy}$: $Z(x,y,t)=Z_1(x,t)Z_2(y,t)$.

[realeugene]

Babeuf в сообщении #1491510 писал(а):

(чтобы удостовериться: правильно ли я его записал) в анизотропном случае (когда $K_x$ и $K_y$ — различны).

Да, выбором неоднородных единиц измерения длин по осям задача сводится к изотропной. Но вам дальше нужно учесть граничные условия на краях плосы, а для этого нет ничего лучше разложения в ряд Фурье поперёк полосы.

[Babeuf]

Хорошо. Этот момент (с формулой для фундаментального решения) я себе уяснил. Тогда для понимания хода решения, хотелось бы получить ответ на уточняющий вопрос.

Если я начну с упрощенного случая для прямой задачи теплопроводности, где линия у меня бесконечна по OY, и нужно узнать распределение температуры, скажем, в промежутке $y \epsilon [y_0,y_1]$, причём $0<y_0<y_1<+\infty$, а греть я линию буду постоянным тепловым потоком $q_0$, который действует на линию в промежутке от $y_{q_1}$ до $y_{q_2}$, который в свою очередь располагается $y_0<y_{q_1}<y_{q_2}<y_1. Начальное распределение температуры $T_0(y,0) $ — задано функцией $g(y)$.

Тогда, для нахождения температуры, нужно взять нужно вроде такой интеграл:
$T(x,y,t)=\int_0^t\int_{y_0}^{y_1} Z(x,y-Y,t-T) g(y)\,dYdT$
Только непонятно, как в вышеприведённом интеграле учитывается тепловой поток? В этом и состоит мой вопрос.

Собственно, если интеграл определить правильно, и временно считать, что $\alpha_x$=$\alpha_y=\alpha$, то распределение температуры при $x=0$ должно совпадать с тем, что приводят Карслоу и Егер в своей монографии:
$T(0,y,t)=T_0(y,0) + 2 \frac {q_0} {K} \sqrt{ \frac {\alpha t} {\pi}}[erf(\frac {y-y_q_1}{2 \sqrt {\alpha t}})+erf(\frac {y_q_2-y}{2 \sqrt {\alpha t}}) + \frac {y-y_q_1}{2 \sqrt {\pi \alpha t}} {E_i(\frac {(y-y_q_1)^2}{4 \alpha t})} + \frac {y_q_2-y}{2 \sqrt {\pi \alpha t}} {E_i(\frac {(y_q_2-y)^2}{4 \alpha t})}]$
Где $erf$ — функция ошибок, а $E_i$ — интегральная показательная функция.

[realeugene]

Babeuf в сообщении #1491688 писал(а):

Только непонятно, как в вышеприведённом интеграле учитывается тепловой поток?

Дифференцированием полученного решения для температуры.

[Babeuf]

realeugene в сообщении #1491703 писал(а):

Babeuf в сообщении #1491688 писал(а):

Только непонятно, как в вышеприведённом интеграле учитывается тепловой поток?

Дифференцированием полученного решения для температуры.

Пока не понимаю.
Вот я взял интеграл с фундаментальным решением, продифференцировал его по $x$ и приравнял известному значению потока при $x=0$, умноженному на $\frac 1 {-K_x}$. А дальше-то что? Если мы говорим о задаче теплопроводности – нужно же распределение температуры найти.

[realeugene]

Babeuf в сообщении #1491728 писал(а):

Вот я взял интеграл с фундаментальным решением, продифференцировал его по $x$ и приравнял известному значению потока при $x=0$, умноженному на $\frac 1 {-K_x}$. А дальше-то что? Если мы говорим о задаче теплопроводности – нужно же распределение температуры найти.

Распределение температуры по потоку - это обратная задача для распределения потока по температуре. Ещё раз предлагаю перейти к Фурье-базису: в нём решения для различных длин волн по $y$ и различных частот по времени окажутся ортогональными, температура с теплопроводностью будут связаны для каждой базисной функции одним комплексным коэффициентом, который обратить будет тривиально.

[sergey zhukov]

Babeuf
Вот численное решение вашей задачи, сделанное простейшими средствами. Это вид распределения температуры в пластинке. А кривая - это поток тепла с поверхности. На верхней кромке задана для примера температурная синусоидальная волна, движущаяся справа налево (тут она пробежала уже порядка 10 волн):

Если вам нужно просто подсчитать теплопоток, то проще ничего не придумаешь.
Пластинка тут изотропная, но не изотропная ничем не сложнее для этого расчета.

Но если есть желание с математикой повозиться, то это другое дело, конечно.

[Vince Diesel]

Babeuf в сообщении #1491688 писал(а):

Тогда, для нахождения температуры, нужно взять нужно вроде такой интеграл:
$T(x,y,t)=\int_0^t\int_{y_0}^{y_1} Z(x,y-Y,t-T) g(y)\,dYdT$
Только непонятно, как в вышеприведённом интеграле учитывается тепловой поток? В этом и состоит мой вопрос.

По формуле для скачка нормальной производной для потенциала простого слоя $T_x(0,y,t)=-g(y)/(2\alpha_x)$. Так что вместо $g$ там должно стоять $q_0\chi_{[y_1,y_2]}$. Этот интеграл дает ответ для нулевой начальной температуры.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1491768 писал(а):

Babeuf в сообщении #1491688 писал(а):

Тогда, для нахождения температуры, нужно взять нужно вроде такой интеграл:
$T(x,y,t)=\int_0^t\int_{y_0}^{y_1} Z(x,y-Y,t-T) g(y)\,dYdT$
Только непонятно, как в вышеприведённом интеграле учитывается тепловой поток? В этом и состоит мой вопрос.

По формуле для скачка нормальной производной для потенциала простого слоя $T_x(0,y,t)=-g(y)/(2\alpha_x)$. Так что вместо $g$ там должно стоять $q_0\chi_{[y_1,y_2]}$. Этот интеграл дает ответ для нулевой начальной температуры.

Спасибо, понял.

Тогда тот же случай, для бесконечной по OY полосе, только теперь нужно реконструировать плотность теплового потока на участке $[y_0,y_1]$.
Вы писали, что для неё применимо решение для потенциала двойного слоя. Тогда, если я всё правильно понимаю, если начальная температура равняется $T_0(x,y,t=0)=T_0$ (константа), а на границе задана $T(x=0,y,t)=T_y(y,t)$, и коль скоро боковых границ нет:

$q(y,t)=[\frac{2 K_x} {\alpha_x} \int_0^t\int_{y_0}^{y_1} Z_{x}(x,y-Y,t-T) (T(y,t)-T_0)\,dYdT]|_{x=0}$

Так? Просто вы в своём решение указываете, что фундаментальное решение нужно продифференцировать по $x$ дважды:

$ -Kv_x(x,y,t)=\frac{2K}\alpha\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,t)\,dzd\tau. $

А я и не могу в толк взять почему.

[Babeuf]

UPD
Я, конечно, не прав. $K_x$ надо сократить:
$q(y,t)=[-\frac{2} {\alpha_x} \int_0^t\int_{y_0}^{y_1} Z_{x}(x,y-Y,t-T) (T(y,t)-T_0)\,dYdT]|_{x=0}$

[Vince Diesel]

Температура внутри тела выражается через значения на поверхности с помощью потенциала двойного слоя:

$$ T(x,y,t)=T_0-{2\alpha_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{x}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,\tau)\,dzd\tau. $$

Соответственно для $T_x$ внутри интеграла будет стоять $Z_{xx}$.

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1491974 писал(а):

Температура внутри тела выражается через значения на поверхности с помощью потенциала двойного слоя:

$$ T(x,y,t)=T_0-{2\alpha_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{x}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,\tau)\,dzd\tau. $$

Соответственно для $T_x$ внутри интеграла будет стоять $Z_{xx}$.

Спасибо за ответ, Vince Diesel.
И всё же у меня остались вопросы.
Итак, когда мы решаем прямую задачу теплопроводности, то используем формулу потенциала простого слоя. Тогда, для того чтобы получить формулу, которую приводят Карслоу и Егер, а именно:
$T(0,y,t)=T_0(y,0) + 2 \frac {q_0} {K} \sqrt{ \frac {\alpha t} {\pi}}[erf(\frac {y-y_q_1}{2 \sqrt {\alpha t}})+erf(\frac {y_q_2-y}{2 \sqrt {\alpha t}}) + \frac {y-y_q_1}{2 \sqrt {\pi \alpha t}} {E_i(\frac {(y-y_q_1)^2}{4 \alpha t})} + \frac {y_q_2-y}{2 \sqrt {\pi \alpha t}} {E_i(\frac {(y_q_2-y)^2}{4 \alpha t})}]$
Нужно взять интеграл в этом выражении (при $\alpha_x=\alpha_y$, а $q= q_0$ при $y_q_0 \leqslant y \leqslant y_q_1$ ):
$T(0,y,t)=T_0(y,0) - 2 \frac {\alpha} {K} \int_0^t\int_{y_q_0}^{y_q_1} Z(0,y-Y,t-\tau) q(y)dYd\tau $
Этот пункт у меня получился.

Вопрос в том, что если $q(y,t)$ — это какая-то аналитическая функция, то тогда интеграл примет следующий вид:
$T(0,y,t)=T_0(y,0) - 2 \frac {\alpha} {K} \int_0^t\int_{y_q_0}^{y_q_1} Z(0,y-Y,t-\tau) q(Y,\tau)dYd\tau $

Мне непонятен следующий пункт: $q(Y,\tau)$, или $q()$ от каких-то других переменных?

Просто, Вы написали в своём первом ответе про нахождение $q$ через потенциал двойного слоя: $ \tilde p(y,t)$ были от $y$ и $t$:

$-Kv_x(x,y,t)=\frac{2K}\alpha\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,t)\,dzd\tau$

А в последнем:
$T(x,y,t)=T_0-{2\alpha_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{x}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,\tau)\,dzd\tau.$
Здесь уже $\tilde p(y,\tau)$ уже от $y$ и $\tau$.
И какой из вариантов верный? Может быть вообще должно быть: $ \tilde p(Y,\tau)$.

[Vince Diesel]

Опечатки. Верно

$$ T_x(x,y,t)=-{2\alpha_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(z,\tau)\,dzd\tau. $$

Коэффициент $\alpha_x$ сверху. Это в формуле скачка он снизу. Так что выше я не туда его поставил.

Babeuf в сообщении #1493144 писал(а):

не непонятен следующий пункт: $q(Y,\tau)$, или $q()$ от каких-то других переменных?

От $(Y,\tau)$.

[Babeuf]

Спасибо!

А всё-таки: правильно ли я понимаю, что если задача бесконечна по $Y$, то $ \tilde p(z,\tau)$ — это просто температура "пластины" при $x=0$, т.е.:
$ \tilde p(y,t)=T(y,t)-T_0$
И под интегралом она, соответственно:
$q(y,t)=-K_x T_x(0,y,t)={2K_x\alpha_x}\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(0,y-Y,t-\tau) (T(Y,\tau)-T_0) dYd\tau$
Или что-то другое?