Найти минимальное значение

[Polarny]

Задача школьная
Найдите $x,y,z>0$, для которых
$\frac{x^2yz}{324}+\frac{144y}{xz}+\frac{9}{4xy^2}$
принимает минимальное значение, и среди всех таких $x,y,z$
значение $\frac{z}{16y}+\frac{x}{9}$ также минимально.

Мои попытки. Заметил только, что если ввести $a=\frac{x}{9}, b=\frac{z}{16y}, c=4y^2$, то выражения примут вид
$a^2bc+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}$ и $a+b$.
Но не знаю, что с этим делать и нужно ли это вообще. Прошу помощи.

[EUgeneUS]

Еще можно заметить, что $a^2bc = ab \cdot ac$

[iifat]

Первое, что стоит вспомнить про минимум суммы — неравенство межде средним арифметическим и средним же геометрическим.

[Polarny]

Вот к чему пришёл
$ab\cdot ac+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}$
Замена $ab=k,ac=m$
Тогда $k+\frac{1}{k}+k(m-1)+\frac{1}{m}\geqslant 2+k(m-1)$=$\frac{1}{m}=$ $2+m(k-1)-k+m+\frac{1}{m}\geqslant 4+mk-m-k$
Наименьшее значение достигается при $m=n=1$
Получается, что наименьшее значение 3 при $ab=1,ac=1$
Тогда $b=c,ab=1$
И получаем $z=64y^3,xy^2=\frac{9}{4}$
А выражение $a+b=a+\frac{1}{a}\geqslant 2$
$a=1\to x=9,y=\frac{1}{2},z=8$
Так, что ли?

[EUgeneUS]

Действительно, заменой

Polarny в сообщении #1491602 писал(а):

Замена $ab=k,ac=m$

переходим к простой функции двух переменных: $km + \frac{1}{k}+\frac{1}{m}$
Минимум этой функции достигается в точках $k = \pm 1, m = \pm 1$. Нам подходит точка с положительными значениями.

Из используемой замены получаем $ab = 1$ и $ac = 1$,
откуда $a = \frac{1}{c}$, $b = c=\frac{1}{a}$.
Подставляем это во вторую функцию, получаем:

$a+b = a+ \frac{1}{a}$
Минимум в положительной области этой функции достигается в точке $a=1$.
Отсюда: $a=b=c=1$.
Именно это Вы и сделали.
Вспоминая, самую первую замену, и выбирая только положительные значения, получаем, ответ как у Вас.

Небольшой комментарий. Для меня привычно искать минимумы функций через равенство нулю производных.
Возможно, в данном случае можно найти минимумы и через неравенства. Но выкладки с неравенствами наверное лучше чтобы прокомментировал уважаемый iifat

[artempalkin]

EUgeneUS в сообщении #1491612 писал(а):

Минимум этой функции достигается в точках $k = \pm 1, m = \pm 1$.

А это как получено? Надеюсь, чисто школьными методами :)

-- 11.11.2020, 10:45 --

Polarny
А почему вы не хотите вот по этому пути пойти

iifat в сообщении #1491492 писал(а):

Первое, что стоит вспомнить про минимум суммы — неравенство межде средним арифметическим и средним же геометрическим.

Это быстро приводит к ответу, и вполне школьное действие (ну, на уровне мат. класса)

[EUgeneUS]

artempalkin в сообщении #1491620 писал(а):

А это как получено? Надеюсь, чисто школьными методами :)

Поиск экстремума гладкой функции одной переменной путем приравнивания нулю производной - это входит в школьную программу в любой редакции.
Расширение этого на функцию двух и более переменных, насколько знаю, не входит "в стандартную редакцию школьной программы".
Но никто не мешает рассматривать одну из переменных, как параметр. Впрочем, таким путем мы и придем к нужному неравенству.

artempalkin в сообщении #1491620 писал(а):

(ну, на уровне мат. класса)

на уровне физмат.класса, думаю, можно рассчитывать на умение найти экстремум гладкой функции двух переменных

[Polarny]

[quote="artempalkin в сообщении #1491620"]А почему вы не хотите вот по этому пути пойти[/q
И правда. Просто пошёл по тому пути, который увидел, а этот не заметил.

Итого есть аж 2 решения. Производных ещё не было, поэтому третьего не учитываю.

Всем спасибо!

[artempalkin]

EUgeneUS в сообщении #1491625 писал(а):

на уровне физмат.класса, думаю, можно рассчитывать на умение найти экстремум гладкой функции двух переменных

Я не придираюсь, но все-таки думаю, что нет :) Исследование на экстремум функции двух переменных не входит ни в одну школьную программу, с которыми я сталкивался. В отличие от неравенств про средние, которые в данном случае приводят к ответу в полстрочки :)

[alisa-lebovski]

Если задача школьная, то она действительно на неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, и что равенство достигается, когда усредняемые величины равны. Похожее помнится несколько лет назад в ДВИ в МГУ.