Действительно, заменой
Замена

переходим к простой функции двух переменных:

Минимум этой функции достигается в точках

. Нам подходит точка с положительными значениями.
Из используемой замены получаем

и

,
откуда

,

.
Подставляем это во вторую функцию, получаем:

Минимум в положительной области этой функции достигается в точке

.
Отсюда:

.
Именно это Вы и сделали.
Вспоминая, самую первую замену, и выбирая только положительные значения, получаем, ответ как у Вас.
Небольшой комментарий. Для меня привычно искать минимумы функций через равенство нулю производных.
Возможно, в данном случае можно найти минимумы и через неравенства. Но выкладки с неравенствами наверное лучше чтобы прокомментировал уважаемый
iifat