Найти циркуляцию вектора по контуру

[s4nday_]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с задачкой
Необходимо найти циркуляцию векторного поля $F=-7yi+2xj+zk$ по контуру $x^2+y^2=6(z-1)^2$ ; $x=0;y=0;z=0$ двумя способами
Нашел циркуляцию по определению, т.е по трем фрагментам(в первом пришлось параметризовать, в двух остальных циркуляция получилась одинаковая но с разными знаками) и получил, что полная циркуляция равна: $\frac{3\pi}{2}$, теперь пытаюсь найти по Стоксу:
нашел $\operatorname{rot} =9k$ (как определитель матрицы) и проблема в том, что я не совсем понимаю как найти нормаль для такого конуса, чтобы подставить в скалярное произведение и посчитать конечный интеграл.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- картинки уберите, наберите все здесь.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 09.11.2020, 02:57 --

Формулу Стокса хотя бы напишите.

[s4nday_]

s4nday_ в сообщении #1491264 писал(а):

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с задачкой
Необходимо найти циркуляцию векторного поля $F=-7yi+2xj+zk$ по контуру $x^2+y^2=6(z-1)^2$ ; $x=0;y=0;z=0$ двумя способами
Нашел циркуляцию по определению, т.е по трем фрагментам(в первом пришлось параметризовать, в двух остальных циркуляция получилась одинаковая но с разными знаками) и получил, что полная циркуляция равна: $\frac{3\pi}{2}$, теперь пытаюсь найти по Стоксу:
нашел $\operatorname{rot}F =9k$ (как определитель матрицы) и проблема в том, что я не совсем понимаю как найти нормаль для такого конуса, чтобы подставить в скалярное произведение и посчитать конечный интеграл.

Формула Стокса по которой хочу найти циркуляцию: $\int\int(\operatorname{rot}F,n)dS

[Lia]

Во-первых, пишите все. А то ротор уже второй раз без векторного поля. И интеграл не понять по чему. А во-вторых. Других вариантов формулы Стокса Вам не известно? или есть указание использовать именно этот?

Вектор нормали - градиент к поверхности, если это не гуглится.

[s4nday_]

Lia в сообщении #1491280 писал(а):

Во-первых, пишите все. А то ротор уже второй раз без векторного поля. И интеграл не понять по чему. А во-вторых. Других вариантов формулы Стокса Вам не известно? или есть указание использовать именно этот?

Вектор нормали - градиент к поверхности, если это не гуглится.

Есть и другая формула через направляющие косинусы, но в любом случае нужен единичный вектор нормали. Вроде бы я его нашел: $\vec{n}=\frac{x\vec{i}+y\vec{j}+(-6z+6)\vec{k}}{\sqrt[2]{x^2+y^2+(-6z+z)^2}}$

Дальше подставляю в интеграл: $\iint_{S}(\operatorname{rot}\vec{F},\vec{n})dS$, где S-поверхность конуса в первом октанте, ограниченная координатными плоскостями и получаю $\frac{27\pi}{2}$, что не сходится с подсчетом по определению, может там ошибка?

[Lia]

s4nday_ в сообщении #1491334 писал(а):

и получаю $\frac{27\pi}{2}$, что не сходится с подсчетом по определению, может там ошибка?

Так ведь никто не сможет сказать, где ошибка: как Вы считали, Вы не пишете.

[math]$\iint_S f dS$[/math]

$\iint_S f dS$ Читайте FAQ, плиз, по коду.

[s4nday_]

Lia в сообщении #1491339 писал(а):

s4nday_ в сообщении #1491334 писал(а):

и получаю $\frac{27\pi}{2}$, что не сходится с подсчетом по определению, может там ошибка?

Так ведь никто не сможет сказать, где ошибка: как Вы считали, Вы не пишете.

[math]$\iint_S f dS$[/math]

$\iint_S f dS$ Читайте FAQ, плиз, по коду.

Окей, распишу все действия:
По Стоксу: $\iint_S (-6z+6)9 dS

$dS=\frac{dxdy\sqrt[2]{x^2+y^2+(-6z+z)^2}}{(-6z+6)}$, тогда остается посчитать площадь фрагмента окружности в первом октанте:

$\iint_S (-6z+6)9 dS=\iint_{D_{xy}} 9 dx dy=\frac{9\pi R^2}{4}=\frac{27\pi}{2}$

По определению: взял три фрагмента и считал через каждый:
1) при z=0; $x^2+y^2=6$ $x=\sqrt6\cos{t};y=$\sqrt6\sin{t}, тогда: $C_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}36\sin(t)^2-42\cos(t)^2=\frac{-3\pi}{2}$
2) при x=0 $C_2=-\int_{0}^{1}zdz=-\frac{1}{2};$ знак минус из за обхода против часовой
3) при y=0 аналогично 2) только знак другой $C_3=\int_{0}^{1}zdz=\frac{1}{2}
$C=C_1+C_2+C_3=C_1=\frac{-3\pi}{2}$;
Как-то так.

[thething]

s4nday_
Почему бы не использовать вариант формулы Стокса с поверхностным интегралом второго рода, и параметризовать конус цилиндрическими координатами? Ну, или без цилиндрических раз есть явный вид (единичная нормаль не нужна, знак перед интегралом определяется по "тупости" угла нормали и положительного направления оси $Oz$).

[Lia]

$dS$ неверно посчитано.

Формулы оформляйте, нечитабельно.

-- 09.11.2020, 17:28 --

thething в сообщении #1491358 писал(а):

знак перед интегралом определяется по "тупости" угла нормали и положительного направления оси $Oz$

Ну, справедливости для, у ТС ориентация контура не задана.

[thething]

Lia в сообщении #1491361 писал(а):

Ну, справедливости для, у ТС ориентация контура не задана.

Ага, тоже это заметил потом, и что ответы по знаку отличаются (не говоря об их правильности-неправильности).

-- 09.11.2020, 17:40 --

s4nday_
Всё-таки продрался через Ваше нагромождение. У Вас ошибка в сведЕнии интеграла в пункте 1. Ответ, с точностью до знака должен быть $\dfrac{27\pi}{2}$.

s4nday_ в сообщении #1491350 писал(а):

По Стоксу: $\iint_S (-6z+6)9 dS

Это место не понял (всмысле, девятку понял, а что за скобка -- нет). Через интеграл второго рода делается тривиально.

[s4nday_]

thething в сообщении #1491365 писал(а):

Lia в сообщении #1491361 писал(а):

Ну, справедливости для, у ТС ориентация контура не задана.

Ага, тоже это заметил потом, и что ответы по знаку отличаются (не говоря об их правильности-неправильности).

-- 09.11.2020, 17:40 --

s4nday_
Всё-таки продрался через Ваше нагромождение. У Вас ошибка в сведЕнии интеграла в пункте 1. Ответ, с точностью до знака должен быть $\dfrac{27\pi}{2}$.

s4nday_ в сообщении #1491350 писал(а):

По Стоксу: $\iint_S (-6z+6)9 dS

Это место не понял (всмысле, девятку понял, а что за скобка -- нет). Через интеграл второго рода делается тривиально.

Нашел ошибку, большое спасибо!