Задача теплопроводности - поток тепла от двух переменных

[Babeuf]

Здравствуйте.

Хочу решить обратную задачу теплопроводности, которая сформулирована следующим образом.
Бесконечно тонкая пластина длиной $l=100$ мм, края которой теплоизолированы, и бесконечная «вглубь» (как на рисунке) греется тепловым потоком плотностью $q(y,t)$. Требуется восстановить тепловой поток $q(y,t)$, если распределение температуры на поверхности $T(x=0,y,t)$ задано дискретно.

Математическая формулировка тогда такова:
Уравнение теплопроводности:
${\alpha}(\frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {x}^2}+ \frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {y}^2})=\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {t}}$

$\alpha=\frac {K} {\rho C_p}$, где $K$ — коэффициент теплопроводности, $\rho$ — плотность и $C_p$ — теплоёмкость материала из которого сделана пластина.

Начальное условие:
$T(x=0,y,t=0)=T_0$

Граничные условия:
$-K\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {x}}|_{x=0}={q(y,t)}$
$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {y}}|_{y=0}=0$
$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {y}}|_{y=l}=0$

Собственно, как я начал решать:
1. Представил пластину как набор точек, расстояние между которыми $\Delta y=1$ мм, т.е. у меня 100 точек по OY.
2. Тогда задача сводится к решению 100 нуль-мерных задач, где поток зависит только от времени $q(t)$.
3. В таком случае, для каждой точки, задачу можно решить в матричной форме, используя матрицу коэффициентов чувствительности.
$\bf{q}= [X]^{-1} (T-T_0)$, где $\bf{q}$, $\bf{T}$, $\bf{T_0}$ — соответственно вектора: плотности теплового потока, измеренной температуры и начальной температуры, а $\bf[X]$ — матрица коэффициентов чувствительности, которые вычисляются исходя из точного решения для полубесконечного тела:
$T(x=0,t)=2 \frac {q_c} {K} \sqrt{ \frac {\alpha t} {\pi}}$.
4. Набор нуль-мерных задач я решил, алгоритм, устойчивый к погрешностям, написал. И когда поток стационарный, или едет вдоль OY достаточно медленно, то плотность теплового потока восстанавливается достаточно хорошо. Проблема возникает тогда, когда поток "едет" быстро — возникают отрицательные значения.
5. Вот тут у меня и возникла проблема. Я так понимаю, что для того чтобы задать коэффициенты чувствительности на поверхности, нужно разбить её (поверхность) на отрезки, где поток постоянен по OY, и вот как конкретно это сделать, я пока осознать не могу.

[Vince Diesel]

Babeuf в сообщении #1488807 писал(а):

Начальное условие:
$T(x=0,y,t=0)=T_0$

У вас начальная температура всей пластины задана?

[Babeuf]

Vince Diesel в сообщении #1488832 писал(а):

Babeuf в сообщении #1488807 писал(а):

Начальное условие:
$T(x=0,y,t=0)=T_0$

У вас начальная температура всей пластины задана?

Да, задана для всей поверхности пластины, но и для $x>0$ можно считать, что температура $T_0$
И я в своих расчётах полагаю, что прогревом "в глубь", т.е. по оси X, можно пренебречь.

[Vince Diesel]

С непрерывными данными задача решается аналитически. Обозначим через $p(y,t)$ заданное на границе распределение температуры и $Z(x,y,t)$ - фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Методом отражений можно избавиться от условий на боковых сторонах. Продолжим $p$ по $y$ на всю ось отражениями, $p(-y,t)=p(y,t)$, $y\in[-1,0]$, $p(2-y,t)=p(y,t)$, $y\in [1,2]$ и т.д.

Функция $v(x,t)=u(x,t)-T_0$ будет решением первой краевой задачи в полуплоскости:

$$ v_t-\alpha\Delta v=0, \hbox{ при }x>0,\ v|_{t=0}=0, \ v|_{x=0}=\tilde p(y,t)=p(y,t)-T_0. $$

Ее решение выписывается через потенциал двойного слоя

$$ v(x,y,t)=-\frac2\alpha\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_x(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,t)\,dzd\tau. $$

Тогда требуемое в исходной задачи выражение

$$ -Kv_x(x,y,t)=\frac{2K}\alpha\int_0^t\int_{-\infty}^\infty Z_{xx}(x,y-z,t-\tau) \tilde p(y,t)\,dzd\tau. $$

Поскольку граничная функция задана дискретно, вместо интегралов получатся суммы.

Ф.Р. быстро убывает по $y$, так что (в зависимости от максимального значения $t$) можно ограничиться продолжением $p$ на несколько периодов вправо и влево.

Так как $Z_{xx}$ имеет особенность при $x=y=0$, то в качестве решения можно попробовать взять $q(y,t)= -Kv_x(\varepsilon,y,t)$, где $\varepsilon=1$ мм - шаг дискретизации или что-то подобное.

[Theoristos]

А в чём именно проблема?
Есть решения для синусоидального распределения температуры по поверхности.
Произвольное распределение температуры разлагается в ряд Фурье по таким синусоидам.
Решения прямо дают тепловой поток.

[sergey zhukov]

Babeuf
Я задачу понял так: есть длинная полоска алюминиевой фольги шириной 100 мм, которую мы заливаем в пенопласт, а затем шлифуем поверхность пенопласта так, что на его поверхности видим торец этой полоски фольги $Y$- линию длиной 100мм. Далее мы берем утюг и прикладываем к этому торцу. При этом мы измеряем только температуру самого этого торца фольги $T(Y,t)$, а не всей ее поверхности. Из $T(Y,t)$ мы должны вычислить $q(Y,t)$. При этом не важно, "едет" поток тепла куда-то или просто меняется. Главное - он не стационарный. Все верно?

[Babeuf]

sergey zhukov в сообщении #1489073 писал(а):

Babeuf
Я задачу понял так: есть длинная полоска алюминиевой фольги шириной 100 мм, которую мы заливаем в пенопласт, а затем шлифуем поверхность пенопласта так, что на его поверхности видим торец этой полоски фольги $Y$- линию длиной 100мм. Далее мы берем утюг и прикладываем к этому торцу. При этом мы измеряем только температуру самого этого торца фольги $T(Y,t)$, а не всей ее поверхности. Из $T(Y,t)$ мы должны вычислить $q(Y,t)$. При этом не важно, "едет" поток тепла куда-то или просто меняется. Главное - он не стационарный. Все верно?

sergey zhukov, да. Верно.

-- 25.10.2020, 18:52 --

Theoristos в сообщении #1489003 писал(а):

А в чём именно проблема?
Есть решения для синусоидального распределения температуры по поверхности.
Произвольное распределение температуры разлагается в ряд Фурье по таким синусоидам.
Решения прямо дают тепловой поток.

Theoristos, так температура задана дискретно в каждый момент времени. Это просто набор точек.
Тогда можно сделать только ДПФ в пространственной области, но температура может быть какой угодно на плоскости в данной момент, тогда с помощью преобразование Фурье не поможет.

-- 25.10.2020, 19:20 --

Vince Diesel в сообщении #1488984 писал(а):

С непрерывными данными задача решается аналитически. Обозначим через $p(y,t)$ заданное на границе распределение температуры и $Z(x,y,t)$ - фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Vince Diesel, спасибо за интересный ответ.
Однако, мне аналитическое решение вряд ли поможет, так как, в конце концов, задачу планируется применить к экспериментальным данным.

Мне бы всё-таки хотелось понять как нужно понять как задавать коэффициенты чувствительности при известной длине пластины.
Идею коэффициентов чувствительности я взял из книги Дж. Бека "Некорректные обратные задачи теплопроводности".
Для случая, когда плотность теплового потока зависит, как $q(y,t)$, он рассматривает бесконечно тонкую и бесконечную по Y пластину.
Тогда коэффициенты чувствительности задаются, исходя из формулы для температуры:
$T(x=0,y,t)=2 \frac {q_c} {K} \sqrt{ \frac {\alpha t} {\pi}}(\frac {1}{2} erfc(\frac {y}{2 \sqrt {\alpha t}})- \frac {y}{4 \sqrt {\pi \alpha t}} {E_1(\frac {y}{4 \alpha t})} )$.
Собственно мне непонятно из каких соображений выбираются отрезки на пластине, если точки и расстояние между точками в которых измеряется температура известны.

[Vince Diesel]

Babeuf в сообщении #1489090 писал(а):

Однако, мне аналитическое решение вряд ли поможет, так как, в конце концов, задачу планируется применить к экспериментальным данным.

Как было сказано выше, если данные на сетке интеграл заменяется на сумму (с множителем, равным площади одной клетки сетки). И будет приближенное решение.

[sergey zhukov]

Babeuf
На мой взгляд это не обратная задача теплопроводности, а просто задача нестационарной теплопроводности. У нас тут фактически заданы нестационарные граничные условия на поверхности тела, и нужно решить прямую нестационарную задачу теплопроводности. Из нее находим и поток тепла.

Обратная задача по определению самого Бэка - это когда нужно узнать что-то о поверхности, а мы измеряем температуру 1- в глубине, 2 - в конечном числе точек. У вас тут ничего такого явно не указано, почему вы считаете эту задачу обратной? Может, дело в том, что у вас не слишком много точек измерения температуры? Например, 5 а не 100?

[Theoristos]

Babeuf в сообщении #1489090 писал(а):

Theoristos, так температура задана дискретно в каждый момент времени. Это просто набор точек.
Тогда можно сделать только ДПФ в пространственной области, но температура может быть какой угодно на плоскости в данной момент, тогда с помощью преобразование Фурье не поможет.

Ну и что? Без ограничений на граничное условие это и есть всё, что можно вытащить из задачи, может там у вас между точками -1000 К, кто знает.
А с требованиями гладкости выйдем как бы не на то же дискретное Фурье.

[Babeuf]

Уважаемые участники форума!
Всем спасибо за обсуждение и советы.

Мне удалось решить прямую задачу (оценка температуры поверхности по известному тепловому потоку $q(y,t)$), используя коэффициенты чувствительности, так что создать алгоритм для восстановления потока уже чисто дело техники.

Ответ на мой вопрос, по поводу выбора сетки по оси Y следующий (опишу ситуацию для прямой задачи, так как для обратной — нужно просто поменять температуру и плотность потока местами, да использовать обратную матрицу коэффициентов чувствительности ):
1. Представим, что нам известны температуры на поверхности с шагом $\Delta y$.
2. Тогда для каждой точки поверхности, температура будет определяться следующим образом.
3. Температура поверхности (линии — так как задача по сути одномерная, коль скоро вглубь пластина не прогревается), определяется так: имеется прогрев поверхности постоянным тепловым потоком с плотностью $q_0$ плоскости $-a<y<a$, где $a=0.5 \Delta y$, где $\Delta y$ - шаг нашей сетки.
4. Аналитическое выражение для функции температуры для п.3 дано в книге Карслоу и Егера [Г. Карслоу, Д. Егер "Теплопроводность твердых тел, Изд. "Наука", М. 1964, стр. 259, выражение (5.3)].

-- 31.10.2020, 14:46 --

sergey zhukov в сообщении #1489157 писал(а):

Babeuf
На мой взгляд это не обратная задача теплопроводности, а просто задача нестационарной теплопроводности. У нас тут фактически заданы нестационарные граничные условия на поверхности тела, и нужно решить прямую нестационарную задачу теплопроводности. Из нее находим и поток тепла.

Обратная задача по определению самого Бэка - это когда нужно узнать что-то о поверхности, а мы измеряем температуру 1- в глубине, 2 - в конечном числе точек. У вас тут ничего такого явно не указано, почему вы считаете эту задачу обратной? Может, дело в том, что у вас не слишком много точек измерения температуры? Например, 5 а не 100?

Я просто полагал, что Обратная Задача Теплопроводности (ОЗТ) — это задача по нахождению теплового потока, по известной температуре. По крайней мере, в статьях, где я это прочёл использовалась именно такая терминология.
Хотя Вы, безусловно, правы Бэк — определяет ОЗТ по-другому, так как в и описали.
P.S. Кстати, прикинул в эксперименте мне известная временная эволюция порядка в 140 точках.

[Babeuf]

Уважаемые участники форума!

Решая различные модельные задачи, я пришёл к выводу, что алгоритм восстановление теплового потока, через задание коэффициентов чувствительности (которые будут скоррелированы между собой в силу близкого расположения точек, в которых измеряется температура) весьма дорогостоящая, в плане времени, задача.

Более того, в очередной раз обдумывая эксперимент, я пришёл к выводу, что видимо всё же уравнение теплопроводности придётся усложнить, так как по X и Y различные коэффициенты теплопроводности. Тогда имеющиеся уравнения приобретут следующий вид:

$\frac {K_x} {\rho C_p} \frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {x}^2}+ \frac {K_y} {\rho C_p} \frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {y}^2}=\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {t}}$

, где $K$ — коэффициент теплопроводности, $\rho$ — плотность и $C_p$ — теплоёмкость материала из которого сделана пластина.

Начальное условие:
$T(x=0,y,t=0)=T_0$

Граничные условия:
$-K_x\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {x}}|_{x=0}={q(y,t)}$
$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {y}}|_{y=0}=0$
$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {y}}|_{y=l}=0$


У меня вопрос: а какие вообще есть эффективные, с точки зрения машинного времени, алгоритмы реконструкции теплового потока, когда известны именно данные на поверхности?

Уважаемый Theoristos!

Theoristos в сообщении #1489003 писал(а):

А в чём именно проблема?
Есть решения для синусоидального распределения температуры по поверхности.
Произвольное распределение температуры разлагается в ряд Фурье по таким синусоидам.
Решения прямо дают тепловой поток.

А Вы не могли бы привести это "решение для синусоидального распределения температуры по поверхности", или дать ссылку на литературу, а то найти его никак не могу.

[sergey zhukov]

Babeuf
Почему бы вам просто не решить это уравнение численно? Это же совсем просто, тем более, что задача двумерная. Самая обычная задача нестационарного теплообмена. Берете в excel поле 100х100 клеток (или даже 500х500), на вертикальных границах поля и на нижней границе задаете температуру, равную температуре в соседней внутренней клетке поля (теплоизоляция), на верхней границе задаете известное вам распределение температуры. На каждом временном шаге прирост температуры в каждой клетке поля просто равен средней разности между ее текущей температурой и температурой всех ее четырех соседей, умноженную на шаг по времени и деленную на теплоемкость. Если имеем разные коэффициенты теплопроводности по разным направлениям, то разности по разным направлениям просто берутся с разными весами. В общем, ясно, где там теплоемкость подставить и теплопроводность. Поток тепла на поверхности вычисляется по полученному температурному полю, как разность температур клеток на поверхности и следующих за ними клеток в глубине поля, умноженная на коэффициент теплопроводности. Все это довольно быстро считается даже в excel.

[realeugene]

Babeuf в сообщении #1491006 писал(а):

А Вы не могли бы привести это "решение для синусоидального распределения температуры по поверхности"

Решите сначала задачу аналитически для бесконечной по $y$ полуплоскости с синусоидальным распределением температуры при $x=0$. Температурное поле должно быть той же синусоидой при $x>0$, с амплитудой, вглубь полуплоскости затухающей и запаздывающей - по времени тоже представьте гармоникой. Т. е. для синусоиды всё должно свестись к одномерному уравнению теплопроводности с коэффициентом диффузии, зависящим от её длины волны. А дальше отберите в качестве базисных для своей полосы функций синусоиды с чётной симметрией на левой и правой границе.

Что касается дискретности заданных точек - резкие скачки в любом случае не здорово, так как скачек температуры приводит к бесконечным тепловым потокам. Заданную дискретно температуру нужно как-то интерполировать, разлагая в Фурье уже гладкие базисные интерполяционные функции. В результате для каждой заданной числом точки температуры у вас получится известное аналитическое решение для теплового потока, и эти решения нужно просуммировать численно ввиду линейности задачи теплопроводности. Коэффициенты теплопроводности и теплоёмкость у вас же не зависят сами от температур?

[Vince Diesel]

Babeuf в сообщении #1491006 писал(а):

У меня вопрос: а какие вообще есть эффективные, с точки зрения машинного времени, алгоритмы реконструкции теплового потока,

Ну, для данного случая есть аналитическая формула для решения. Так что, если заменить интеграл на сумму, ответ вычисляется как сумма с весами от исходных данных. Куда уж проще