Формула включений-исключения для полиномов

[novichok2018]

Повторяю один из бывших тут вопросов. А для некоторых других функций, не полиномов, формула не может оказаться верной? Например, для экспоненты, в виде ряда?

[maxal]

Я вспомнил в связи с этим вопросом на MO: https://mathoverflow.net/q/210465/7076

[novichok2018]

maxal - спасибо за интересную ссылку. Добавлю, что функция g(x) из комментариев по ссылке, похоже выражается в относительно явном виде по Интегралы и ряды -1, издание 2002 г., с. 281, ф. 26. В относительно явном - потому что появится ещё предел при $p\to 1$.

Кстати, возможно, что если сделать экспоненциальную замену в интеграле для $g(x)$, то он может выразиться через одну из известных специальных функций типа ф. Лауричелла. В этой интегральной формуле ограничивает, что если все числа $a_k$ неотрицательны, то аргумент функции $x$ -только отрицательный, что нужно для сходимости интеграла, нет?

[maxal]

novichok2018, коэффициенты $g(x)$ - это те самые:

maxal в сообщении #1143381 писал(а):

$$(-1)^n d!\ [x^d]\ \prod_{i=1}^n (e^{a_ix}-1)$$

просто умножение на $d!$ записано через преобразование Лапласа. Не думаю, что её можно записать как-то сильно проще, хотя буду рад ошибиться.