2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 10:48 


14/02/20
863
Я так понимаю, это классическая задача тервера:

Доказать, что количество точек разрыва функции распределения не более чем счетно


В целом идея понятна. Точка разрыва - значит, функция претерпевает конечный (ненулевой) скачок. Если бы количество таких скачков было континуум, хм, ну сумма континуума положительных чисел вряд ли может быть конечной (как их складывать-то даже? непонятно). Но вот строго как доказать, что-то я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
artempalkin
Ну да, это известный факт. Посмотрите, например, у Боровкова в Теории вероятностей. В общем-то Ваша интуиция
artempalkin в сообщении #1490766 писал(а):
Если бы количество таких скачков было континуум, хм, ну сумма континуума положительных чисел вряд ли может быть конечной

абсолютно верная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 11:15 


30/09/20
78
Это верно для всех монотонных функций. Для них каждый разрыв - скачок. Каждому проскоченному монотонной функцией интервалу можно сопоставить рац. число, а так как множество рац. чисел счетно, то отсюда следует, что множество разрывов не более чем счетно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 11:24 


14/02/20
863
Verkhovtsev в сообщении #1490771 писал(а):
Каждому проскоченному монотонной функцией интервалу можно сопоставить рац. число, а так как множество рац. чисел счетно, то отсюда следует, что множество разрывов не более чем счетно.

Это гениально! Спасибо!

Таким образом в том числе можно доказать, что сумма континуума положительных чисел не может быть конечна. Впрочем, она не может быть и бесконечна (т.к. опять же каждому интервалу будет поставлено в соответствие рациональное число). Вывод, видимо, такой, что невозможно сложить континуум положительных чисел обычными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих

(Оффтоп)

Для множества неотрицательных чисел можно назвать суммой супремум всех сумм конечных подмножеств (это определение совпадает со стандартным для случая счетного множества и любого упорядочения). Несложно доказать, что если в множестве есть континуальное число положительных чисел, то супремум конечных сумм равен бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 11:46 
Заслуженный участник


13/12/05
4604

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1490774 писал(а):
Несложно доказать, что если в множестве есть континуальное число положительных чисел, то супремум конечных сумм равен бесконечности

даже просто несчётное

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки разрыва функции распределения
Сообщение05.11.2020, 18:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1490775 писал(а):
даже просто несчётное

Согласно континуум-гипотезе, это не даже, а наоборот.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: eugensk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group