Точки разрыва функции распределения

[artempalkin]

Я так понимаю, это классическая задача тервера:

Доказать, что количество точек разрыва функции распределения не более чем счетно

В целом идея понятна. Точка разрыва - значит, функция претерпевает конечный (ненулевой) скачок. Если бы количество таких скачков было континуум, хм, ну сумма континуума положительных чисел вряд ли может быть конечной (как их складывать-то даже? непонятно). Но вот строго как доказать, что-то я не понимаю.

[ShMaxG]

artempalkin
Ну да, это известный факт. Посмотрите, например, у Боровкова в Теории вероятностей. В общем-то Ваша интуиция

artempalkin в сообщении #1490766 писал(а):

Если бы количество таких скачков было континуум, хм, ну сумма континуума положительных чисел вряд ли может быть конечной

абсолютно верная.

[Verkhovtsev]

Это верно для всех монотонных функций. Для них каждый разрыв - скачок. Каждому проскоченному монотонной функцией интервалу можно сопоставить рац. число, а так как множество рац. чисел счетно, то отсюда следует, что множество разрывов не более чем счетно.

[artempalkin]

Verkhovtsev в сообщении #1490771 писал(а):

Каждому проскоченному монотонной функцией интервалу можно сопоставить рац. число, а так как множество рац. чисел счетно, то отсюда следует, что множество разрывов не более чем счетно.

Это гениально! Спасибо!

Таким образом в том числе можно доказать, что сумма континуума положительных чисел не может быть конечна. Впрочем, она не может быть и бесконечна (т.к. опять же каждому интервалу будет поставлено в соответствие рациональное число). Вывод, видимо, такой, что невозможно сложить континуум положительных чисел обычными методами.

[mihaild]

(Оффтоп)

Для множества неотрицательных чисел можно назвать суммой супремум всех сумм конечных подмножеств (это определение совпадает со стандартным для случая счетного множества и любого упорядочения). Несложно доказать, что если в множестве есть континуальное число положительных чисел, то супремум конечных сумм равен бесконечности.

[Padawan]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1490774 писал(а):

Несложно доказать, что если в множестве есть континуальное число положительных чисел, то супремум конечных сумм равен бесконечности

даже просто несчётное

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1490775 писал(а):

даже просто несчётное

Согласно континуум-гипотезе, это не даже, а наоборот.