Дифф. ур. Бернулли в физике или экономике?

[Divergence]

В курсе уравнений математической физики обычно почти все УЧП выводятся из различных моделей механики или физики.
В курсе ОДУ обычно просто проходят методы решения различных дифуров, которые, как правило, не выводятся.
Это некоторое методологический вводный комментарий.

Мне же интересно нелинейное дифференциальное уравнение Бернулли
$x^{(1)}(t)+p(t)x(t)=q(t)x^{n}(t),$
где $n$ отлично от нуля и единице.

Какие физические, механические или экономические процессы такие уравнения описывают?
Если ли модели, в которых такие уравнения выводятся для описания тех или иных процессов в механике, физике, экономике?

Подскажите, пожалуйста ссылки на книги или статьи, на русском или английском.

[D'Amir]

В книге Пономарева есть пара геометрических задач, которые приводят к уравнению Бернулли (стр. 213 и далее):
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Ponomarev1973ru.pdf

Вот здесь ещё был похожий вопрос, в первом ответе даётся пример, связанный с силой трения:
https://math.stackexchange.com/question ... -naturally

[Divergence]

D'Amir - Спасибо за ссылки.

Думаю дифференциальное уравнение Бернулли НЕ популярно в приложениях.
Видимо оно ничего не описывает из реальных процессов.

[Red_Herring]

Следует помнить, что ОДУ появились на 100 лет перед УЧП и в основном описывали те уравнения, которые мгли решить "в кадратурах". Поэтому некоторые ОДУ взяты "с потолка". Опять-таки, речь идет в первую очередь даже не о всех ОДУ, а о ОДУ 1го порядка. В более высолих порядках есть много уравнений, интересных в приложениях, например, через УЧП.

Бернулли популярно в учебниках, поскольку оно похоже на линейное

С другой стороны, УЧП вырастали из описания реальных процессов. Но тут есть еще дополнительное обстоятельство: УЧП, написанное "от фонаря" практически никаких свойств не имеет, например, нет для него хорошо поставленных "нормальных" краевых задач, а для того же Бернулли есть задача Коши.

[novichok2018]

Вроде уравнение Бернулли возникло при описании движения жидкости в канале, так что это прапра...дедушка современной гидродинамики. И до сих пор там используется. Так? Как раз классики, как мне кажется, не брали уравнений "с потолка", у них всё вырастало из конкретных задач и приложений. Весь первоначальный набор обыкновенных ДУ - это формализация конкретных задач механики и астрономии.

[GAA]

Интеграл Бернулли (формула Бернулли) назван(-а) в честь Даниила (1700 — 1782) [среднего сына Иоганна I (Johann)].

Приведенное в начальном сообщении уравнение составлено в 1695 Якобом I (Jakob, 1654 — 1705) (в связи с геометрической задачей), а решение было опубликовано в 1697 его братом Иоганном I (Johann, 1667 — 1748).
[См., например, Степанов В.В. §4 Линейные уравнения, п. 2 уравнение Бернулли. (Источник сведений не указан)]

Время Даниила — это время зарождения механики, гидродинамики и теории упругости, а время братьев Якоба I и Иоганна I — это время зарождение и первых шагов дифференциального и интегрального исчисления и теории вероятностей. (Якоб — зарождение, но уже записи Иоганна I легли в основу первого учебника по дифференциальному и интегральному исчислению составленного Лопиталем).

[В книге Никифоровский В. А. "Великие математики Бернулли", 1984 есть детали сложных отношений Якоба I и Иоганна I, и вообще много из жизни династии Бернулли, но о выводе уравнения Бернулли вроде не рассказано. Боюсь, нужно поднимать оригинальные публикации или переводы, но мне они в основном не доступны.]

[Divergence]

Спасибо за комментарии общего порядка и исторического порядка.

В результате имеем "ОДУ взятый с потолка" и "дедушку"-"сына"-"брата"-...
Ненужный дифур в современной механики и физике, и не нашедший за 300 лет приложений в других науках.
Вроде почти нелинейное, а в реальности линейное и ненужное в приложениях.
Печально.

[Red_Herring]

Divergence в сообщении #1489321 писал(а):

Вроде почти нелинейное, а в реальности линейное

Из того, что коно сводится к линейному, не следует, что оно "в реальности линейное" хотя бы потому, что оно не обладает многими свойствами линейных.

[novichok2018]

Про ненужное в приложениях - зря Вы так. И мы кто тут - не всё знаем и не всегда можем по заказу вспомнить агитфакты обо всём, чтобы привести примеры и убедить. И вообще нужное - это нужное, но далеко не самое главное в образовании.

[Divergence]

Если мы в уравнении Бернулли вместо первой производной напишем вторую, то имеет ли такое уравнение имя собственное?

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение "почти как у Бернулли"
$x^{(2)}(t)+p(t)x(t)=q(t)x^{n}(t),$
где $n$ отлично от нуля и единице.

Понятно, то это уравнение можно интерпретировать как нелинейный гармонический осциллятор
$x^{(2)}(t)=F(t,x),$
Его можно выводить, разлагая функцию $F(t,x)$ в ряд Тейлора, но это дает целые степени $n$.
Получим лишь один очень специальный вид такого "почти Бернулли".
(Например, осциллятор Дуффинга в стиле описанном в русской википедии - это при постоянных p и q, что не так интересно (мне)).

Для какие зависимостей от времени $p(t), q(t)$ такие уравнения что-то реальное описывают в экономике или физике?
И если не такое уж реальное, то по крайней мере являются уравнениями известных моделей.

Если ли модели, в которых такие уравнения "почти как у Бернулли" выводятся для описания тех или иных процессов в механике, физике, экономике?
Подскажите, пожалуйста ссылки на книги или статьи, на русском или английском.

[пианист]

Где Бернулли или $y'' + py = qy^n$ в жизни встречается, увы, не скажу, но все же замечу:

Divergence в сообщении #1489321 писал(а):

в реальности линейное

все ОДУ такие; их подходящей заменой всегда можно (локально) упростить.

[GAA]

Divergence в сообщении #1489358 писал(а):

Если ли модели, в которых такие уравнения "почти как у Бернулли" выводятся для описания тех или иных процессов в механике, физике, экономике?

Уравнение вида $x’’ +\varepsilon x’ + [1+\alpha \cos 2t]x +x^3=0$ иногда называют нелинейным уравнением Матьё (см., например, Кальянов Э.В., Кальянов Г.Н. Анализ управляемой хаотической автоколебательной системы на основе модели ангармонического осциллятора. // Письма в ЖТФ, 2007, том 33, вып. 3). Это всё из серии параметрически возбуждаемых нелинейных осцилляторов.

Про нелинейные колебания и вывод уравнения типа нелинейного уравнения Матьё есть немного в книге
Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 1974.
Там же приводится пример уравнения математического маятника с переменной длиной. Если удержать линейный и кубический член в разложении синуса, то получим уравнение отличающееся от Вашего наличием первой производной.

Однородное уравнение второго порядка сводится (как однородное относительно функции и её производных) к уравнению Риккати. Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его решение сводится к решению уравнения Бернулли. По причине важности уравнения Риккати уравнение Бернулли и рассматривается в водных курсах ОДУ. Вроде так.

-- Tue 27.10.2020 17:54:54 --

Только подобрать частное решение уравнения Риккати в практически интересных случаях не получается.

[пианист]

Раз уж пошла такая пьянка..
Риккати частный случай систем ОДУ $\frac{dx^i}{dt} = T^a(t) \xi^i_a(x)$, в которых $\xi^i_a(x) \frac{\partial}{\partial x^i}$ задают алгебру группы.
Эти ОДУ интересны тем, что в них имеется фундаментальная система решений, через которую все остальные выражаются, типа как в линейных (теорема Гульдберга, Вессио, Ли, не знаю, в каком порядке правильно).

[Divergence]

Спасибо но Уравнение Риккати - частный случай Бернулли для $n=2$.
Спасибо за нелинейным уравнением Матьё и ссылки.
Однако там помимо второй есть первая производная, и нелинейность фиксирована и ограничивается одним целым числом.
Все это из серии - нелинейный осциллятор без сопротивления, где потенциальная энергия разлагается в ряд Тейлора - целые степени $x(t)$.
В нелинейном дифуре Бернулли $n$ любое действительное число отличное от нуля и единицы.

-- 27.10.2020, 21:37 --

В связи с правильным замечанием, исправлю свою фразу
"Вроде почти нелинейное, а в реальности линейное и ненужное в приложениях."
на
"Вроде почти линейное, а в реальности нелинейное, но ненужное в приложениях."

[btoom]

Учтите, что иногда в матфизике ОДУ могут играть вспомогательную роль, ибо некоторые УЧП к ним сводятся, либо ОДУ участвуют как промежуточный этап в применении метода.

Вот пример как раз с Бернулли, правда, там $p$ и $q$ это константы. Автор рассматривает уравнение конвекции-реакции-диффузии со степенной нелинейностью и использует метод простейшего уравнения для рассмотрения частных случаев. Если в УЧП не входят независимые переменные, то оно может быть сведено к ОДУ. Этим автор и воспользовался. И таких случаев очень много.

(Оффтоп)

Допустим, есть УЧП вида $u_x+au=b(\frac{\partial u}{\partial x^n \partial t^m})^k$. Пусть теперь $\xi =x-ct$ и $u=u(\xi )$. Ясно, что мы получаем сразу ОДУ $u'+au=b((-c)^m u^{(n+m)})^k$.

Дальше уже без примера, чисто на уровне поразмышлять.
У некоторых интегрируемых уравнений в частных производных (например, Бюргерс, КдФ) вида $u_t=F(u,u_x,...,\frac{\partial u}{\partial x^n})$ существуют так называемые высшие симметрии. Грубо говоря, это эволюционные уравнения вида $u_{\tau}=G(x,t,u,u_x,...,\frac{\partial u}{\partial x^n})$, примечательные тем, что их стационарная (короче, правая) часть, приравненная нулю - ОДУ, имеющее совместное решение с нашим УЧП. Возможно, есть случаи, когда такие ОДУ и есть уравнения Бернулли. Степенная нелинейность точно нередкий гость в симметриях.

Добавлю. Применение в приложениях - очень широкая тема и смотря какие приложения. Численные решения, асимптотические бывают. В "настоящей жизни" такие классические уравнения как те же КдФ, Бернулли относительно нечасто возникают, судя по статьям физиков, инженеров. Они же часто очень модельные и упрощенные. Но это обычное явление - рассмотреть что попроще, а потом усложнять.
Возможно, экономисты или физики дадут больше примеров, ибо специалистов по диффурам обычно больше волнуют другие аспекты: интегрируемость, поведения при больших временах, начальные и/или граничные задачи и др.