Здравствуйте.
Хочу решить обратную задачу теплопроводности, которая сформулирована следующим образом.
Бесконечно тонкая пластина длиной

мм, края которой теплоизолированы, и бесконечная «вглубь» (как на рисунке) греется тепловым потоком плотностью

. Требуется восстановить тепловой поток

, если распределение температуры на поверхности

задано дискретно.

Математическая формулировка тогда такова:
Уравнение теплопроводности:


, где

— коэффициент теплопроводности,

— плотность и

— теплоёмкость материала из которого сделана пластина.
Начальное условие:

Граничные условия:



Собственно, как я начал решать:
1. Представил пластину как набор точек, расстояние между которыми

мм, т.е. у меня 100 точек по OY.
2. Тогда задача сводится к решению 100 нуль-мерных задач, где поток зависит только от времени

.
3. В таком случае, для каждой точки, задачу можно решить в матричной форме, используя матрицу коэффициентов чувствительности.
![$\bf{q}= [X]^{-1} (T-T_0)$ $\bf{q}= [X]^{-1} (T-T_0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/1/2c1c2d372760090733eb73c0393aae7f82.png)
, где

,

,

— соответственно вектора: плотности теплового потока, измеренной температуры и начальной температуры, а
![$\bf[X]$ $\bf[X]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/9/169075d2000333eb3b182bd74b8cb5ef82.png)
— матрица коэффициентов чувствительности, которые вычисляются исходя из точного решения для полубесконечного тела:

.
4. Набор нуль-мерных задач я решил, алгоритм, устойчивый к погрешностям, написал. И когда поток стационарный, или едет вдоль OY достаточно медленно, то плотность теплового потока восстанавливается достаточно хорошо. Проблема возникает тогда, когда поток "едет" быстро — возникают отрицательные значения.
5. Вот тут у меня и возникла проблема. Я так понимаю, что для того чтобы задать коэффициенты чувствительности на поверхности, нужно разбить её (поверхность) на отрезки, где поток постоянен по OY, и вот как конкретно это сделать, я пока осознать не могу.