2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 13:14 


14/02/20
863
Интересно, что в Кудрявцеве есть эта задача, причем даже более общего плана (найти область сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\sin...\sin x$ (в каждом слагаемом $n$ синусов)), и она даже не отдельная задача, а подпункт задания (Том 2, Гл. 5, $\S$ 18, 6(3)).

Может быть, есть какое-то совсем простое решение даже в таком общем случае?

-- 23.10.2020, 13:27 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 14:11 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Посмотрите на доказательства в теме и поймите когда они не работают. Тут все абсолютно аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Геометрическая прогрессия вроде всегда работает. Кроме точек, кратных $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Если $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$, то, используя формулу Тейлора, показываем, что $f(x_{n+1})-f(x_n)\sim\dfrac{1}{3}$, поэтому, по теореме Штольца, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)}{n}=\dfrac{1}{3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 16:35 
Заслуженный участник


12/08/10
1677

(Оффтоп)

thething в сообщении #1488664 писал(а):
Если $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$, то, используя формулу Тейлора, показываем, что $f(x_{n+1})-f(x_n)\sim\dfrac{1}{3}$, поэтому, по теореме Штольца, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)}{n}=\dfrac{1}{3}$.
Уже было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика

(Оффтоп)

Null
Проморгал Ваше сообщение среди прочего обсуждения

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 19:30 


14/02/20
863
Null в сообщении #1488637 писал(а):
Посмотрите на доказательства в теме и поймите когда они не работают. Тут все абсолютно аналогично.

alisa-lebovski в сообщении #1488641 писал(а):
Геометрическая прогрессия вроде всегда работает. Кроме точек, кратных $\pi$.


Да, тут все понятно, область сходимости - числа, кратные $\pi$. В любой другой точке можно применить нашу логику.

Меня смущает, что эта задача, которая решается достаточно нетривиально, в сборнике задач на уровне остальных достаточно простых. Я вот и думаю, нет ли какого-то тривиального решения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 23:24 


23/02/12
3357
artempalkin в сообщении #1488716 писал(а):
Я вот и думаю, нет ли какого-то тривиального решения...
Действительно все по-моему просто. Выполняется необходимый признак сходимости и достаточный признак сходимости Даламбера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 12:06 


14/02/20
863
vicvolf в сообщении #1488754 писал(а):
достаточный признак сходимости Даламбера

Поясните?

-- 24.10.2020, 12:40 --

Не получится.

Т.к. $a_n\to0$, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac {a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac {\sin a_n}{a_n}=1$, так что признак Даламбера не сработает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 18:11 


23/02/12
3357
artempalkin в сообщении #1488803 писал(а):
vicvolf в сообщении #1488754 писал(а):
достаточный признак сходимости Даламбера

Поясните?
Если для ряда $a_1+a_2+...+a_n+...$ c положительными членами, начиная с некоторого номера $n$ отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n}<1$, то ряд сходится (признак сходимости Даламбера).
В данном случае: $\frac {a_1}{a_0}=\frac {sin1}{1}<1,\frac {a_2}{a_1}=\frac {sinsin1}{sin1}<1,...,\frac {a_{n+1}}{a_n}=\frac {sin...sinsin1}{sin1...sin1}<1,...$ Поэтому ряд сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1488862 писал(а):
Если для ряда $a_1+a_2+...+a_n+...$ c положительными членами, начиная с некоторого номера $n$ отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n}<1$, то ряд сходится (признак сходимости Даламбера).
Нет, признак Даламбера заключается не в этом. А это утверждение просто неверно. Простой тому пример - $a_n=1/n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 19:15 


23/02/12
3357
alisa-lebovski в сообщении #1488863 писал(а):
Нет, признак Даламбера заключается не в этом. А это утверждение просто неверно. Простой тому пример - $a_n=1/n$.
Согласен, есть нюанс. Уточню формулировку - Если для ряда $a_1+a_2+...+a_n+...$ c положительными членами, начиная с некоторого номера $n$ выполняется отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n} \leq q <1$, тогда ряд сходится. Такое $q$ здесь не существует и Даламбер не работает. Хотел упростить и вместе с коляской...Прошу прощения :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 19:21 


14/02/20
863

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1488888 писал(а):
выполняется отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n} \leq q <1$

Ага, это нюанс, который у студентов вызывает вопрос ("в чем разница $b_n<1$ или $b_n\leqslant q<1$?!"), но по факту разница есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
А если бы было $a_{n+1}=\ln(1+a_n)$, $a_0>1$, тогда как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
alisa-lebovski
Аналогично, по Тейлору и Штольцу, только рассматривать $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Асимптотика $a_n$ будет $\dfrac{2}{n}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_2000


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group