2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производная функции и сходящаяся последовательность
Сообщение06.10.2008, 13:56 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Дана функция $f$ дифференцируемая на отрезке $[a, b]$. И дана сходящаяся на этом отрезке последовательность $(x_n)$. Верно ли следующее утверждение

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n + 1}) - f(x_n)}{ x_{n + 1} - x_n} = f' \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) $$

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 14:05 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Нет, это неверно. Рассмотрите функцию

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, &x \neq 0; \\
0, &x = 0
\end{cases}
$$

и последовательность

$$
x_n = \frac{2}{\pi n}.
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 15:36 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Понятно, производная не обязана быть непрерывной. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:13 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Пусть $x$ --- точка, к которой сходится последовательность $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ из условия задачи. Для того, чтобы утверждение выполнялось, очевидно, достаточно, чтобы производная $f'$ была непрерывна в некоторой окрестности точки $x$. А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #148848 писал(а):
А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?
Достаточно тому, кто знает т. Лагранжа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
на которого, собственно, bubu gaga с самого начала и намекал, только не учтя тогда возможной разрывности

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:44 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Brukvalub писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #148848 писал(а):
А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

Достаточно тому, кто знает т. Лагранжа.


Посмотрел теорему в Википедии. Теперь и мне достаточно :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group