2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производная функции и сходящаяся последовательность
Сообщение06.10.2008, 13:56 
Аватара пользователя
Дана функция $f$ дифференцируемая на отрезке $[a, b]$. И дана сходящаяся на этом отрезке последовательность $(x_n)$. Верно ли следующее утверждение

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n + 1}) - f(x_n)}{ x_{n + 1} - x_n} = f' \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) $$

Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение06.10.2008, 14:05 
Аватара пользователя
Нет, это неверно. Рассмотрите функцию

$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x}, &x \neq 0; \\
0, &x = 0
\end{cases}
$$

и последовательность

$$
x_n = \frac{2}{\pi n}.
$$

 
 
 
 
Сообщение06.10.2008, 15:36 
Аватара пользователя
Понятно, производная не обязана быть непрерывной. Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:13 
Аватара пользователя
Пусть $x$ --- точка, к которой сходится последовательность $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ из условия задачи. Для того, чтобы утверждение выполнялось, очевидно, достаточно, чтобы производная $f'$ была непрерывна в некоторой окрестности точки $x$. А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

 
 
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:21 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #148848 писал(а):
А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?
Достаточно тому, кто знает т. Лагранжа.

 
 
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:25 
на которого, собственно, bubu gaga с самого начала и намекал, только не учтя тогда возможной разрывности

 
 
 
 
Сообщение06.10.2008, 18:44 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #148848 писал(а):
А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

Достаточно тому, кто знает т. Лагранжа.


Посмотрел теорему в Википедии. Теперь и мне достаточно :)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group