Производная функции и сходящаяся последовательность

[bubu gaga]

Дана функция $f$ дифференцируемая на отрезке $[a, b]$. И дана сходящаяся на этом отрезке последовательность $(x_n)$. Верно ли следующее утверждение

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n + 1}) - f(x_n)}{ x_{n + 1} - x_n} = f' \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) $$

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Нет, это неверно. Рассмотрите функцию

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, &x \neq 0; \\ 0, &x = 0 \end{cases} $$

и последовательность

$$ x_n = \frac{2}{\pi n}. $$

[bubu gaga]

Понятно, производная не обязана быть непрерывной. Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Пусть $x$ --- точка, к которой сходится последовательность $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ из условия задачи. Для того, чтобы утверждение выполнялось, очевидно, достаточно, чтобы производная $f'$ была непрерывна в некоторой окрестности точки $x$. А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #148848 писал(а):

А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

Достаточно тому, кто знает т. Лагранжа.

[ewert]

на которого, собственно, bubu gaga с самого начала и намекал, только не учтя тогда возможной разрывности

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #148848 писал(а):

А вот достаточно ли непрерывности $f'$ в самой точке $x$?

Достаточно тому, кто знает т. Лагранжа.

Посмотрел теорему в Википедии. Теперь и мне достаточно