Предельная точка множества значений последовательности

[Someone]

student1138 в сообщении #1487103 писал(а):

Someone в сообщении #1487067 писал(а):

В пространствах с первой аксиомой счётности (где каждая точка имеет не более чем счётную базу окрестностей) это равносильно существованию подпоследовательности, сходящейся к точке $a$. Метрические пространства являются пространствами с первой аксиомой счётности.

Только вот в условиях теоремы не требуют чтобы пространство было метрическим или имело первую аксиому счетности (и вообще ничего не требуют). Т.е. вроде бы речь идет о самом общем топологическом пространстве.

Да, не требуют, потому что теорема 9 из § 6 главы II верна для общих топологических пространств. А ваше утверждение

student1138 в сообщении #1487138 писал(а):

Предельная точка последовательности - предел какой-либо подпоследовательности.

в общих топологических пространствах неверно: предельная точка последовательности может не быть пределом никакой сходящейся подпоследовательности. Вот это свойство (что каждая предельная точка подмножества является пределом какой-нибудь последовательности точек этого подмножества) называется свойством Фреше–Урысона.

[Slav-27]

Someone в сообщении #1487182 писал(а):

Да, не требуют, потому что теорема 9 из § 6 главы II верна для общих топологических пространств.

Нет, не верна (из-за того, что у них определение счётной компактности не такое, как везде). Контрпример к тому, что у них написано -- несвязное объединение счётного количества связных двоеточий. У него каждое непустое подпространство имеет предельную точку, но открытое покрытие счётным количеством связных двоеточий не имеет конечного подпокрытия.

[Someone]

Slav-27 в сообщении #1487236 писал(а):

Нет, не верна (из-за того, что у них определение счётной компактности не такое, как везде).

Согласен. Это я не вник, хотя ваш пример мне известен. Я привык, что счётная компактность определяется либо через покрытия (из любого счётного открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие), либо через последовательности (каждая последовательность имеет предельную точку), в их доказательстве увидел последовательность, решил, что они пользуются вторым определением, и не стал копать дальше.
Ситуацию можно было бы исправить, просто предположив, что рассматриваются только $T_1$-пространства, но такого предположения я в книге не нашёл.