Предельная точка множества значений последовательности

[student1138]

Someone в сообщении #1487067 писал(а):

В пространствах с первой аксиомой счётности (где каждая точка имеет не более чем счётную базу окрестностей) это равносильно существованию подпоследовательности, сходящейся к точке $a$. Метрические пространства являются пространствами с первой аксиомой счётности.

Только вот в условиях теоремы не требуют чтобы пространство было метрическим или имело первую аксиому счетности (и вообще ничего не требуют). Т.е. вроде бы речь идет о самом общем топологическом пространстве.

[gris]

мне кажется, разговор ушёл в сторону с самого начала. во-первых, предполагается наличие счётно-центрированной системы замкнутых множеств. во-вторых, из этой системы невозбранно выкидываются все повторы. то есть, вложения строгие. последовательность точек строится так, что каждое множество содержит свою и все последующие точки последовательности. последовательность имеет предельную точку. так как все члены последовательности, начиная с очередного, принадлежат очередному множеству системы, то по причине замкнутости множества предельная точка последовательности принадлежит как очередному множеству, так и всем последующим. то есть их пересечению.
то есть причина всего этого лежит в возможности построения строго вложенных замкнутых множеств и последовательности из попарно различных точек. предельная точка не может быть изолированной.
лучше, конечно, расписать это формально. в книжке это так и сделано. надо почитать.

[student1138]

gris в сообщении #1487131 писал(а):

последовательность имеет предельную точку.

Все понятно, кроме вот этого пункта. Почему последовательность имеет предельную точку? Ведь по определению счетно-компактного пространства из этого же пункта и условию теоремы, предельную точку имеет множество (значений построенной последовательности) а не последовательность.

[gris]

последовательность же состоит из попарно различных точек по построению
рассмотрим множество её значений. оно состоит из попарно разных точек и имеет предельную, которая не изолирована. то есть можно построить последовательность точек, которые сходятся к предельной точке множества значений. эта последовательность будет сходящейся подпоследовательностью нашей последовательности.То есть предельная точка множества значений буде предельной точкой последовательности. именно из-за попарного различия. а я это и говорил вчера кажется

[student1138]

gris в сообщении #1487135 писал(а):

последовательность же состоит из попарно различных точек по построению

Ну да. Это бесконечное множество, которое по условию имеет предельную точку. Но я не понимаю почему эта точка является предельной точкой последовательности. Ведь это разные определения:
1) Предельная точка ($x$) множества - точка, в любой окрестности которой найдется хотя бы одна точка множества, отличная от $x$.
2) Предельная точка последовательности - предел какой-либо подпоследовательности.

Как я понимаю, 2 автоматически не следует из 1. Пример: какая-то окрестность точки содержит конечное число точек множества, все, в этом случае предельной точкой последовательнсти она быть не может.

А условий, при которых она являлась бы предельной точкой последовательности ($ T_1 $), насколько я понимаю, в теореме не требуют.

-- 14.10.2020, 20:31 --

gris в сообщении #1487135 писал(а):

то есть можно построить последовательность точек, которые сходятся к предельной точке множества значений.

Как?

-- 14.10.2020, 20:40 --

Кажется я смутно начинаю догадываться. Берем любую окрестность $U_1$ точки $x$ , в ней выбираем точку множества $x_1$, затем берем любую другую окрестность $ U_2' $, строим ее пересечение с $ U_1 $: $U_2 = U_2' \cap U_1$ и в нем выбираем точку множества $ x_2 $ и так далее. Если какая-то окрестность будет содержать в себе любую окрестность из постренной системы окрестностей то она будет содержать и все точки последовательности, начиная с некоторой. Однако этого недостаточно чтобы последовательность сходилась к исходной точке $ x $. Надо чтобы это свойство выполнялось для любой окрестности. В общем чего-то тут не хватает.

[Slav-27]

student1138 в сообщении #1487138 писал(а):

1) Предельная точка ($x$) множества - точка, в любой окрестности которой найдется хотя бы одна точка множества, отличная от $x$.
2) Предельная точка последовательности - предел какой-либо подпоследовательности.

Это одно и то же для хаусдорфовых пространств, но в общем случае неверно.

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1487140 писал(а):

Это одно и то же для хаусдорфовых пространств, но в общем случае неверно.

В обсуждаемой теореме нет требования хаусдорфовости

[Slav-27]

Если там не написано, что топологическое пространство должно удовлетворять каким-то дополнительным условиям, то, значит, обсуждаемая теорема неверна.

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1487143 писал(а):

значит, обсуждаемая теорема неверна.

Получается так. Хотя кажется что вероятнее все же это я тупой, чем ошибка в учебнике. Кто-нибудь из настоящих математиков может проверить этот пункт? Глава 2, параграф 6, пункт 4, теорема 9.

[Slav-27]

student1138 в сообщении #1487144 писал(а):

Глава 2, параграф 6, пункт 4, теорема 9.

Нет, это-то скорее всего верно, я назвал неверным утверждение, что любая предельная точка множества значений последовательности есть предел некоторой подпоследовательности. А это сейчас подумаю.

[mihaild]

Существует счетно-компактно пространство, в котором есть счетная центрированная система замкнутых множеств с пустым пересечением.
Проблема с доказательством в том, что в произвольном топологическом пространстве у множества $A$ и $A \cup \{a\}$ могут быть разные предельные точки. И можно придумать пространство (конкретное оставлю пока это в качестве упражнения), в котором у каждого множества $X_n = \{x_n, x_{n + 1}, \ldots\}$ предельная точка есть, но нет точки, являющейся предельной для всех $X_n$.

[gris]

а зачем нам нужно, чтобы последовательность имела предельную точку? У нас есть последовательность, все её члены попарно различны, а множество значений бесконечно и по условию счётной компактности имеет предельную точку. Эта точка принадлежит всем центрированным множествам. То есть они имеют непустое пересечение. Но это и требуется. Для чего доказывать, что именно последовательность будет иметь предельную точку? У меня сейчас нет текста. Неужели там требуется предельная точка последовательности? Для чего

[Slav-27]

Да, теорема в том виде, как она написана у Колмогорова и Фомина, неверна.

Хотя если сравнивать, например, с википедией, то неверно у них определение, а не теорема.

Цитата:

Пространство T называется счетно-компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

Должно быть "имеет хотя бы одну $\omega$-предельную точку", то есть точку, в любой окрестности которой бесконечно много элементов этого множества.

-- 14.10.2020, 23:06 --

gris в сообщении #1487154 писал(а):

Она принадлежит всем центрированным множествам.

Не факт. $\Phi_n$ содержит все точки $x_n,x_{n+1}...$, поэтому оно содержит любую предельную точку этого множества, но множество предельных точек этого множества может быть строго меньше множества предельных точек множества значений всей последовательности.

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1487156 писал(а):

Да, теорема в том виде, как она написана у Колмогорова и Фомина, неверна.

Спасибо. Не зря значит я столько тупил над этой теоремой.

[Slav-27]

student1138 в сообщении #1487144 писал(а):

Хотя кажется что вероятнее все же это я тупой, чем ошибка в учебнике.

Совершенно неправильно так считать, почти в любом математическом тексте длиннее страницы есть ошибка.